自动控制原理 经典例题详解 2-9章.doc

第2章 控制系统的数学模型 1 第3章 线性系统的时域分析法 7 第4章 线性系统的根轨迹法 16 第5章 线性系统的频域分析法 27 第6章 线性系统的校正方法 40 第7章 线性离散系统的分析与校正 48 第8章 非线性控制系统分析 62 第9章 线性系统的状态空间分析与综合 73 第2章 控制系统的数学模型 例1和为齿轮和轴的转动惯量，和为齿轮轴与轴承的粘性摩擦系数，和为各齿轮轴的角位移，为电动机的输出转矩，和分别为轴1传送到齿轮上的转矩和传送到轴2上的转矩，齿轮1和齿轮2的减速比为。如果不考虑齿轮啮合间隙和变形，试求输入量是转矩，输出是转角的运动方程。 图2-1 解: 1. 由已知，齿轮1和齿轮2的减速比为 （2-1） 在齿轮传动中，两个啮合齿轮所做的功相同，因此有 （2-2） 根据牛顿第二定律，齿轮1的运动方程为 （2-3） 齿轮2的运动方程为 （2-4） 由（2-1）、（2-2）、（2-3）和（2-4）式，消去中间变量、、，得系统的运动方程为 例2。图中为放大器的增益。 图2-2 解: 考虑放大器对电路的负载效应，即电路的输出端电阻应为与的并联。即 利用复阻抗的概念，电路的传递函数为 电路与放大器串接后的传递函数为 例3 系统初始条件为，试求系统的单位阶跃响应。 解: 考虑到传递函数是在零初始条件下定义的，故有系统的微分方程为 将微分方程两边取拉氏变换，得到变换方程 由已知条件，，及，变换方程可简化为 显然，通过拉氏变换将微分方程变成了代数方程。解变换方程，求出输出变量的拉氏变换表达式 是变量的有理分式函数，可用部分方式法，将的分母多项式进行因式分解，分解为部分分式 待定系数可由下式求出 故有 将输出的拉氏变换式进行拉氏反变换即可得到微分方程的解，即系统的单位阶跃响应 例4 图2-3 解： 用梅逊公式求取系统传递函数。 由图2-3知，系统有1个回路，有2条前向通路。因此有 根据梅逊公式，系统的传递函数为 例 式中、、、均为常数。试建立以、及为输入量、为输出量的系统动态结构图。 解: 1. 在零初始条件下，对微分方程组进行拉氏变换，得到变换方程组 2. 根据变换方程组画出各子方程结构图2-4。 图2-4 3. 按照系统中各变量的传递顺序，把相同的量连起来，便可得到系统的结构图，如图2-5所示。 图2-5 例、和。 图2-6 解: 由图2-6可以看出，共有4个回路，一对两两不接触回路，故有 ，，， 1. 求传递函数。 从到的前向通路共2条，故有 ， ， 2. 求传递函数。 因不是输出节点，而是混合节点，故可将用一条支路增益为1的支路引出，使该混合节点变为输出节点，所以可以直接利用梅逊公式求出。 从到的前向通路共1条，故有 ， 3. 求传递函数。 因不是输入节点，而是混合节点，故不能直接用梅逊公式求传递函数。用梅逊公式先求出和。 第3章 线性系统的时域分析法 例1，求： 1. 时间常数； 2. 时，单位阶跃响应是多少？ 3. 如果给该容器加热，使容器内水温以℃的速度匀速上升，当定义时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解: 1. 求时间常数。 解法1. 根据调节时间的定义，有 解法2. 依题意，一阶环节的标准数学模型为 输入信号为，即，故有 对其进行拉氏反变换，有 依题意 解得 2. 输入信号为，即，则有 时 3. 水温以℃的速度匀速上升，表示输入信号为斜坡信号，即。一阶系统稳定，根据误差的定义，有 因为在平面右半平面及虚轴上（除原点外）解析，满足终值定理的应用条件，故有 ℃ 例2 试求系统的超调量、峰值时间和调节时间。 解: 为便于计算，先求出正弦函数的拉氏变换，有 对单位阶跃响应进行拉氏变换，得 单位阶跃输入，系统的传递函数为 典型二阶系统的传递函数为 比较以上二式，有，，。则有 超调量 峰值时间 调节时间 例 2. 3. 4. 解: 1. 由系统特征方程 列写劳斯表 由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半平面。 2. 由系统特征方程 列写劳斯表 由劳斯表可知，第一列元符号变