自控原理9(第九章487-510).ppt

6．状态反馈与状态观测器的工程应用 9-5李雅普诺夫稳定性分析 1．李雅普诺夫意义下的稳定性 2．李雅普诺夫第一法(间接法) 3．李雅普诺夫第二法(直接法) (1)标量函数定号性的简要回顾 (2)李雅普诺夫第二法主要定理 4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 (1)线性定常连续系统渐近稳定的判别 (2)线性定常离散系统渐近稳定的判别 ||x0-xe||表示状态空间中x0点至xe点之间距离的尺度，其数学表达式为 (9-387) 实数δ与ε有关，通常也与t0有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。 要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε)，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。 (3)渐近稳定性 若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有 (9-388) 则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且当t→?时收敛于xe其平面几何表示如图9-41(b)所示。显见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。 若δ与t0无关，且式(9-388)的极限过程与t0无关，则称平衡状态是一致渐近稳定的。 (4)大范围(全局)渐近稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，δ→?，S(δ)→?。当t→?时，由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛至xe。 对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定，这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。 (5)不稳定性 如果对于某个实数ε0和任一个实数δ0，不管这两个实数有多么小，在S(δ)内总存在着一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态以就称为是不稳定的，见图9-41(c)。 这是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变以及非线性函数可线性化的情况。 定理9-9 对于线性定常系统 有 1)系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。 2)系统的惟一平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有负实部。 证明 1)设xe为 的平衡状态，则由性质 , 可知，对于所有t≥0均有 (9-389) 于是，考虑到 ，有 (9-390) 这表明，当且仅当 时，对任给的一个实数ε0，都对应存在和初始时刻无关的一个实数δ(ε)=ε/k，使得由满足不等式 (9-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 (9-392) 从而由定义知，系统的每一个平衡状态均为李雅普诺夫意义下稳定。再引入非奇异变换阵P，使得 为矩阵A的约当规范型，则又有 (9-393) 根据古典力学中的振动现象，若系统能量(含动能与位能)随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。李雅普诺夫提出，可虚构一个能量函数(后来被称为李雅普诺夫函数)，一般它与 及t有关，记以V(x，t)。若不显含t，则记以V(x)。它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第二法利用V及的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。用此方法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数的通用方法。对于线性系统，通常用二次型函数xTPx作为李雅普诺夫函数。 正定性 标量函数V(x)对所有在域S中的非零状态x有V(x)0且V(0)=0。则在域S（域S包含状态空间的原点）内的标量函数V(x)称为是正定的。如果时变函数V(x，t)由一个定常的正定函数作为下限，也就是说，存在一个正定函数W(x)，使得 (9-395) 则称时变函数V(x，t)在域S（域S包含状态空间的原点）内是正定的。 负定性 如果-V(x)是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。