自考概率论课件_第七章_参数估计.ppt1.ppt

故 较 更有效. 但 3、相合性 定义 设 为未知参数 的估计量, 若 依概率收敛于 即对任意 有 或 则称 为 的相合估计量. §7.3 参数的区间估计 区间估计 点估计的优点：直观量的意义；缺点：只是未知参数的一个近似值，精度、误差没解决. 分别为样本均值和样本方差 . 7.3.2 单个正态总体参数的置信区间 设总体X ~N(? ,? 2)，样本 (X1, X2, …, Xn) 来自总体X. 正态总体 是最常见的分布，主要讨论 他的两个参数的置信区间。 ～ * * 一、点估计的一般定义及步骤 设总体X～F(x,θ),θ是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的样本,适当选取一个统计量 = (X1,X2,…,Xn) 用 去估计参数θ, 称 为θ的估计量或把 叫做θ的点估计. §7.1 参数的点估计 二、获取点估计的两种方法 1.矩估计法 2.极大似然估计法 1.矩估计法 矩估计法的思想是：用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的. 矩估计法的基本思想: 用样本矩估计总体矩. 总体 阶原点矩 样本 阶原点矩 总体 阶中心矩 样本 阶中心矩 例如， 量。 可用样本均值 作为总体均值 的估计 例1 设样本(X1, X2, …, X n )来自总体 X，且总体的均值 ? 未知，求 ? 的矩估计量. 解： 因为 而 故 总体一阶原点矩 样本一阶原点矩 例2 设总体 在 上服从均匀分布, 未知. 解 试求 的矩估计 是来自 的样本, 量. 总体一阶原点矩 总体二阶原点矩 样本一阶原点矩 样本二阶原点矩 以 代替 得到 的矩估计量分别为 例3 设总体 的均值 及方差 都存在, 但 均为未知, 又设 是来自 的样 试求 的矩估计量. 解 且有 本, 总体一阶原点矩 总体二阶原点矩 样本一阶原点矩 样本二阶原点矩 以 代替 得 和 的矩估计量分别为 例3 设样本(X1, X2, …, X n )来自总体 X~P(?)， 求 ? 的矩估计量. 解： 所以 总体一阶原点矩 样本一阶原点矩 例4 设总体 在 上服从均匀分布, 未知. 解 试求 的矩估计 是来自 的样本, 量. 总体一阶原点矩 总体二阶原点矩 样本一阶原点矩 样本二阶原点矩 以 代替 得到 的矩估计量分别为 二、极大似然估计法 极大似然估计法的思想： 在已得到试验结果的情况 下， 应寻找使这个结果出现的可能性最大的那个 值作为 的估计 似然函数的概念 离散型总体的情形： 设总体 的概率分布为 其中 为未知参数. 如果 是取自总体 的样本 , 观察值为 则样本的联合分布律 样本的 记为 例1 个样本 解 设 是 的一个样本值, 的分布律为 故似然函数为 设 是取自总体 的一 连续型总体的情形： 设总体 的概率密度为 其中 为未知参数， 此时定义似然函数 例2 设总体 服从指数分布, 其概率密度函数 解 似然函数 求未知参数 的最大似然估计问题， 主要步骤： （1） （2） 求出驻点； 写出似然函数 或 令 (3) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入即得参数的最大估计值. 判断并求出最大值点, 例3 个样本, 试求参数 的最大似然估计. 解 设 是 的一个样本值, 的分布律为 故似然函数为 设 是取自总体 的一 令 令 解得 的最大似然估计值 从而 的最大似然估计量 注: 这一估计量与矩估计量是相同的. 例4 设总体 服从指数分布, 其概率密度函数 其中 是未知参数. 是来自总体 的样本观察值, 求参数 的最大似然估计值. 解 似然函数 令 可得参数 的最大似然估计值 例5 似然函数： 解： 例7-9 解 先 §7.2 点估计的评价标准 我们知道，一个未知参数的估计量可能不止一个.这些估计量中哪个好、哪个差呢？这就涉及评价估计量的标准问题.我们介绍三个常用的标准： 1.无偏性； 2.有效性； 3.一致性. 1、无偏性 定义 设 是未知参数 的估计量， 则称 为 的无偏估计量. 若 定理1 设 为取自总体 的样本， 总体 的均值为 方差为 则 （1） （2） （3） 估计量. 是 的无偏估计量； 样本均值 是 的无偏估计量； 样本方差 是 的有偏 样本二阶中心矩 （1） 证 是 的无偏估计量； 样本均值 因为 故 是 的一个无偏估计量. （2） 于是 证 是 的无偏估计量； 样本方差 故 是 的一个无偏估计量. （3）