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苏教版高三三角函数与解三角形专题复习
三角函数与解三角形专题复习
一、知识要点
1.角的概念、象限角的概念、终边相同的角的表示
(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)?α=θ+2kπ(k∈Z),
注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等。
如与角-1 825°的终边相同,且绝对值最小的角的度数是__________,合__________弧度。
(2)α终边与θ终边共线(α终边在θ终边所在的直线上)?α=θ+kπ(k∈Z)。
(3)α终边与θ终边关于x轴对称?α=-θ+2kπ(k∈Z)。
(4)α终边与θ终边关于y轴对称?α=π-θ+2kπ(k∈Z)。
(5)α终边与θ终边关于原点对称?α=π+θ+2kπ(k∈Z)。
(6)α终边在x轴上的角可表示为α=kπ,k∈Z;α终边在y轴上的角可表示为α=kπ+,k∈Z;α终边在坐标轴上的角可表示为α=,k∈Z。
2.弧长公式:l=|α|R,扇形面积公式:S=lR=|α|R2,1弧度(1 rad)≈57.3°。
如已知扇形AOB的周长是6 cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
3.任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P(x,y)是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是r=0,那么sin α=,cos α=,tan α=,(x≠0),三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。
如(1)已知角α的终边经过点P(5,-12),则sin α+cos α的值为____________。
(2)设α是第三、四象限角,sin α=,则m的取值范围是__________________。
4.三角函数线的特征:单位圆中,正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”。三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
如(1)若-θ0,则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系为 。
(2)函数y=+lg(2sin x+)的定义域是 。
5.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1。
(2)商数关系:tan α=。
6.诱导公式
公式一 sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α,tan(kπ+α)=tan α(k∈Z) 公式二 sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α 公式三 sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α 公式四 sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α 公式五 sin(-α)=cos α,cos(-α)=sin α 公式六 sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α 三角函数诱导公式(π+α)(k∈Z)的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数)符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角)。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2kπ+α,0≤α2π;(2)转化为锐角三角函数。
如cos+tan(-)+sin 21π的值为_____________。
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
(3)。
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α.
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)tan 2α=.
(4)cos2α=,sin2α=。
9.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心;其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;再次观察代数式的结构特点.基本的技巧有:
(1)已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·,=(α-)-(-β)等。
如已知tan(α+β)=,tan(β-)=,那么tan(α+)的值是 。
(2)三角函数名互化(切化弦)。
如已知=1,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)= 。
(3)公式变形使用tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β)。
如①已知A、B为锐角,且满足tan Atan B=tan A+ta
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