计算方法 1插值方法.ppt

3 差商形式的插值公式 根据差商定义，把 x看成[a,b]上一点，可得 牛顿均差型线性插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到 我们称p n(x)为牛顿均差插值多项式 计算牛顿差商插值多项式的步骤： （1）作差商表 （2）根据公式计算牛顿型插值多项式（表中对角线上各差商值就是 pn(x)的各项系数）。 余项公式 牛顿型插值多项式 p n(x)显然满足插值条件，且就是次数不超过n次的插值多项式，系数 例4 已知函数y=f(x)的观测数据如上例，试用全部节点构造牛顿插值多项式，并用二次插值求f(3)的近似值。 解 用全部基点时，n=4，先作差商表,见上例。 p4(x)=f(0)+f(0,2)(x- 0)+f(0,2,4)(x- 0)(x- 2)+ f(0,2,4,5)(x- 0)(x- 2)(x- 4)+f(0,2,4,5,6)(x- 0)(x- 2)(x- 4)(x- 5) xi f(xi ) 1阶 2阶 3阶 4阶 0 2 4 5 6 2 2 -13 17 1 5 9 -4 13 0 -5 15 -1 5 1 =1+2x- x(x- 2)(x- 4)+x (x- 2)(x- 4)(x- 5) 用二次插值求f(3)时n=2，x=3，作内插取 x0=2, x1=4, x2=5 f(3)≈p2(3)=f(2)+ f(2,4)(3 – 2)+ f(2,4,5)(3- 2)(3- 4) =7- 5(3- 2)(3- 4) = 12 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等，满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。这里不准备对Hermite插值作一般性论述,而仅仅研究两个具体问题. 1.求作二次式p2(x)满足 设用这一插值多项式p2(x)逼近某个取值 解决这类问题与处理不带导数的插值一样,也有两种方法下面分别说明: 1.6 埃尔米特插值 (1)基于承袭性,按牛顿插值特点,令 则不管系数c怎样取值,总有 将c代入,得 再用剩下的一个条件 确定c, (2)用基函数方法，为简化计算，先设x0=0,x1=1,而令 均为二次式，它们分别满足 其中基函数 下面我们将利用以上条件来分别确定 由条件?0(1)=0知x=1是?0(x)的一个根，故可令 将?0(x)的其它两个条件代入，得方程组 解得 a=b=-1,于是有 ?0(x)=1-x2 同理可得 ?1(x)=x2 ，?0(x)=x(1-x) 若x0 ,x1为任意节点，那么可令x1-x0=h，不难验证，这时 2.求作三次式p3(x)，使满足 仿照问题1的解法，记 h=x1-x0 ,而令 仿照问题1的解法，导出其插值基函数为 余项：对于问题1和问题2的插值余项分别是 其中?1，?2均包含在由点x0 ,x1和x所界定的范围内 例5 求满足 的插值多项式及其余项表达式。 解：由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式，由于此多项式通过点 故其形式为 其中A为待定常数，可由条件 确定， 通过计算得: 为了求余项 R(x)=f(x)-P(x)的表达式,设 其中K(x)为待定函数，构造 显然 故其形式为? (t)在（a,b）内有5个零点（重根算两个）。反复应用罗尔定理，的? (4)(t)在（a,b）内至少有一个零点?，故 于是，余项公式可表为 1 高次插值的龙格现象 2 分段插值的概念 3 分段线性插值 1.7 分段插值法 4 分段三次插值 1 高次插值的龙格现象 1901年龙格首先发现多项式插值有危险，他试图在区间[-5,5]内相等间隔的节点上用多项式对函数 进行插值，却发现当插值多项式pn(x)的次数趋于无穷时， pn(x)在|x|3.63内收敛，而在该区间之外发散。如下图所示。 高次代数多项式插值的龙格（Runge)现象 所以，七、八次以上的代数多项式插值很少使用。 2 分段插值的概念 所谓分段插值就是将插值函数逐段多项式化。 设已知节点a≤x0x1……xn≤b上的函数值y0 , y1 ,……,yn.， 求函数SK (x)满足： 1o Sk (x)? C[a,b], 2o Sk (xk)= yk ,(k=0,1,…,n) 3o Sk (x)在每个小区间[xk , xk+1]上是k次式， 则称Sk (x)为分段k次式. 3 分段线性插值 设给定 f(x)函数值 (xi , yi ),i=0,1,…,n,求在分划? ： a≤x0x1……xn≤b下的一次式 S1 (x)，满足条件 S1 (xi)= yi, i=0,1,…,n