计算方法与误差理论-7.ppt

常微分方程—龙格-库塔方法 经典(四阶)龙格-库塔公式：4阶精度 4个点处的斜率加权平均作为k*的近似值 常微分方程—龙格-库塔方法 Gill公式： 常微分方程—龙格-库塔方法 理论上，可以构造任意高阶的龙格-库塔公式，但精度的阶数与计算函数值的次数之间的关系不是等量增加的。 四阶龙格-库塔公式是兼顾了精度及计算量的较理想的计算公式。 注意：龙格-库塔方法要求所求的解具有较好的光滑性质，否则精度不如改进欧拉公式。 常微分方程—线性多步法 线性多步法 基本思想：充分利用第i+1步前面已求得的多步信息来预测yi+1，从而获得较高的精度 线性r步公式： αj、βj为常数， |αr-1|+|βr-1|≠0 β-1=0时，为显式公式； β-1≠0时，为隐式公式 常微分方程—线性多步法 基本思想 方程y’=f(x,y)的解： 用左矩形公式作数值积分：得欧拉公式 用梯形公式作数值积分：得梯形公式 提高精度：对积分用更精确的求积方法，即用更高次的插值多项式。 选取不同的插值节点，得不同的数值解法 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯内插公式：高次插值多项式，除用xi, xi+1点外，还可取其他点。 最好是区间[xi,xi+1]之间的点，但往往是未知的 所以取区间[xi,xi+1]外的点，如：xi-1, xi-2等等 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯内插公式： 局部截断误差： 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法—阿当姆斯内插公式 隐式公式 四阶公式 三步方法：由xi, xi-1, xi-2求xi+1 需提供三个初值y0,y1,y2，通常由经典龙格-库塔公式提供 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯外推公式：高次插值多项式，阿当姆斯内插公式为隐式公式 为避免成为隐式公式，不取xi+1，而用xi-3代替，即取xi, xi-1, xi-2 , xi-3作插值节点 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯外推公式： 局部截断误差： 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法—阿当姆斯外推公式 显示公式 四阶公式 四步方法：由xi, xi-1, xi-2 , xi-3求xi+1 需提供四个初值y0,y1,y2,y3，通常由经典龙格-库塔公式提供 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯预测校正公式 计算角度来看：外推法：显式公式，计算方便；内插法：隐式公式，需迭代求解，计算麻烦 内插有两个优点：1）内插的局部截断误差比外推的小得多；2）内插公式的系数的绝对值之和比外推的小得多，即由于计算产生的误差对计算结果的影响小得多 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯预测校正公式：把内插公式和外推公式结合起来使用 常微分方程—线性多步法 阿当姆斯方法 阿当姆斯预测校正公式计算的值比外推法求得的值准确的多 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 前面所有的方法都可应用于一阶方程组 2个方程组成的一阶方程组： 设： 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 一阶方程组化为： 求解一阶方程的四阶龙格-库塔公式为： 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 常微分方程—一阶方程组 一阶方程组 仍是单步法 常微分方程——高阶方程 高阶方程 基本思想：化高阶方程为一阶方程组 二阶方程： 设z=y’，则有： 常微分方程——高阶方程 高阶方程 常微分方程——高阶方程 高阶方程 简化(只含li) 常微分方程——高阶方程 高阶方程 例：用四阶龙格-库塔方法在[0,1]上取步长h=0.2，求解二阶方程初值问题: y’’-3y’+2y=0, y(0)=1, y’(0)=1 常微分方程 练习 解常微分方程初值问题的梯形公式具 阶精度，改进的欧拉公式具 阶精度，四阶龙格－库塔法具 阶精度。 2 2 4 计算方法与误差理论 教师：马英杰 成都理工大学 核自学院 第七章 常微分方程数值解法 主要内容 一阶常微分方程的数值解法： 欧拉方法 龙格-库塔方法 线性多步法——阿当姆斯法 一阶方程组与高阶方程 常微分方程数值解法 问题的提出—y’(x)=f(x,y) 应用 不能给出解的解析表达式 复杂，计算量太大 计算机上不易实现 数值解法 寻求解在一系列离散点(节点)上的近似值 一阶方程的初值问题 常微分方程数值解法 初值问题 基本特点：求解过程顺着节点排列次序一步步向前推进。即按递推公式由已知的y0, y1,…yi，求出yi+1。 关键：如何建立这种递推公式？ 常微分方程——欧拉方法 欧拉(Euler)方法：y’(x)=f(x,y) 解初值问题的最简单的数值方法 欧拉公式：yi+1=yi+hf(xi,yi) 常微分方程——欧拉方法 欧拉公式的几何意义 一系列折线（又称折线法） 第i条折