计算机控制技术课件：第7章 控制规律的离散化设计方法(z变换、大林算法、D(Z)的计算机实现).ppt

第5章 控制规律的离散化设计方法 5.1 离散系统分析基础 5.2 离散系统性能分析 5.3 数字控制器直接设计 5.4 大林(Dahlin)算法 5.5 数字控制器D(z)算法实现 5.1 离散系统分析基础 在连续系统分析中，应用拉氏变换作为数学工具，将描述系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传递函数为基础的复域分析法，使得问题得以大大简化。 在离散系统分析中，采用Z变换法，也可以将差分方程转化为代数方程，同样可以建立以 Z传递函数 为基础的复域分析法。 5.1.1 Z变换及性质 1. Z变换定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样函数的拉氏变换演变而来的。 在一定条件下，微机控制系统中的采样可假设为理想采样。将连续信号e(t)通过采样周期为T的理想采样后可得到采样信号e*(t)。 e*(t)是一组理想的脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，其表达式为 ? 对式(5―1)进行拉氏变换，得 在式(5―3)中E(z)称为e *(t)的Z变换。记作：  Z［e *(t)］=E(z)  因为Z变换只对采样点上的信号起作用，所以也可写为：  Z［e(t)］=E(z)  将式(5―3)展开，得 E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+…+e(m)z-m+… (5―4) 由此看出，采样函数的Z变换是变量z的幂级数。其一般项e(kT)·z-k的物理意义是z的幂次表征采样脉冲出现的时刻；e(kT)表征采样脉冲的幅值。 2.Z变换的计算方法 求任意函数e(t)的Z变换，通常分三步进行： ①e(t)被理想采样器采样，给出离散采样函数e *(t)； ②求e *(t)的拉氏变换，给出 ③在E *(s)中用z替换eTs，给出 Z变换的计算方法有以下几种： 1) 级数求和法 级数求和法就是根据Z变换的定义式，求函数e(t)的Z变换。 下面通过典型信号的Z变换式来说明如何应用级数求和法计算Z变换。 【例5―1】求单位阶跃函数的Z变换 解：设e(t)=1，求Z变换E(z)。由定义可得： 【例5―2】单位斜坡信号。 解： 设e(t)=t，求Z变换E(z)，则 【例5―3】指数函数。 解 设e(t)=e-at，求Z变换E(z)，a为实常数，则 2) 部分分式展开法 用部分分式展开法求Z变换，即已知时间函数e(t)的拉氏变换E(s)，求该时间函数e(t)的Z变换。 其解法的具体步骤是：己知E(s)，将其分解成部分分式之和，查变换表求时间函数e(t)＝L-1［E(s)］，利用式(5―3)或查Z变换表求出E(z)。 设连续时间函数ｅ(t)的拉氏变换E(s)为有理分式函数 式(5―10)中，M(s)和N(s)分别为复变量ｓ的有理多项式。 当N(s)没有重根 (即E(s)没有重极点) 时，可将E(s)展开成部分分式和的形式，即 由拉氏变换知道，与Ai /(s-pi)相对应的时间函数为Ai·epit。 根据式(5―9)便可求得与Ai /(s-pi)项对应的Z变换为 因此，函数ｅ(t)的Z变换便可由E(s)求得，并可写作 【例5―4】已知 3) 留数计算法 若己知连续时间函数e(t)的拉氏变换式E(s)及其全部极点pi(i＝1，2，…，n)，则e(t)的Z变换还可以通过下列留数计算求得，即 式中，n为全部极点数，ri为极点ｓ＝pi的重数，T为采样周期。 因此，在已知连续函数e(t)的拉氏变换式E(s)全部极点pｉ的条件下，可采用式(5―14)求e(t)的Z变换式。 【例5―5】已知控制系统的传递函数为 ，求其Z变换式。 解：由传递函数求出的极点为：s1=-1，r1=1； s2=-4，r2=1。Z变换式为 【例5―6】求连续时间函数 3. Z变换基本定理 与拉氏变换