计算机控制系统第十一章.ppt

第11章 最优设计方法：状态空间法 11.1 引言 性能准则是状态和控制信号的二次型函数，综合的问题被形式化为使此性能准则为最小的问题。由此得到的最优控制器是线性的。这样的问题称为线性二次型(LQ)控制问题。如果在过程模型中考虑了高斯随机扰动，则称为线性二次型高斯(LQG)控制问题。 问题的表达形式 设受控过程由连续时间模型描述 性能准则 我们用的设计准则是一种对状态和控制信号的 幅值进行加权的方法。一种性能准则可以选为状态的功 率，即： 状态分量可以有不同的维数，因此可以用更一般的加权 形式来代替上式： 其中，Q1c是对称半正定矩阵。对中止时刻的控制信号和 状态可以用类似的惩罚方法，由此形成了这样一个控制 问题，控制的目的是使损失函数： 为最小，其中： 矩阵Q0c、Q1c和Q2c是对称的并且至少是半正定 的。损失函数中的这些矩阵可能与时间有关。 采样损失函数 损失函数(11.4)式是以连续时间形式表示的。先要把它转 变为离散时间损失函数。在长度为h的区间上对(11.4)式 积分，得出： 其中： 把(11.2)式代入(11.5)式，再考虑到每个采样周期内u(t) 为常数就得到： 其中： 于是，当u(k)在采样周期内为常值时，使损失函数(11.4)式为最小就等同于使下列离散时间损失函数为最小： 配方 设损失函数的形式为： 存在一个L满足： 使得损失函数(11.11)式可以写成： 将(11.12)式代入到(11.13)式中可以很容易地证明这点。 将(11.13)式称为配方。由于(11.13)式是u的二次型，而 且两项均大于或等于零，因此可以容易的看出(11.11)式 在 u=-Lx 时取最小值，而且如果Qu是正定的，L就是唯一 的。最小值为： 11.2 线性二次型控制 定理11.1 确定性系统的LQ控制 考虑系统(11.16)式。允许u(k)是x(k),x(k-1),…的函数。 引入： 其终端条件为S(N)=Q0。假设Q0是正半定的， 是正定的，则存在一个惟一的允许控制策略： u(k)=-L(k)x(k) 其中： 使损失函数(11.9)式取最小值。此最小值为： 另外，S(k)是正半定的。 证：采用动态规划证明此定理 离散时间黎卡提方程 假定黎卡提方程(11.17)在区间 内有一个非负定 的解，那么可得： 其中，L(k)由(11.19)式定义，且 x(k+1)由(11.3)式给出 例11.1 双重积分器的LQ控制 考虑双重积分器(参阅例A.1)，并取采样周期h=1。设 (11.9)式中的加权矩阵为： 现在可以研究权重的影响。针对不同的ρ值算出了平稳 反馈向量。图11.2展示出一些值的状态和控制信号。 ρ ＝0时表示仅惩罚输出，这时得到的控制器与4.3节的 有限拍控制器相同。当ρ增加时，控制信号的幅度就减少。 图11.3表示出作为控制加权ρ的函数的平稳L向量。当 ρ增大时，增益趋近于零且几乎没有反馈。 例11.2 时变控制器 考虑积分器过程： x(k+1)=x(k)+u(k) 令损失函数为： 即时间范围仅为五步。黎卡提方程和控制器增益变为： 图11.4展示了当x(0)=1时，针对不同q0值的s(k),l(k)和状态 的轨迹。值q0=3.70对应于黎卡提方程的平稳解。当q0增大 时，x(5)趋近于零。 代数黎卡提方程 定理11.3 闭环系统的稳定性 设系统(11.16)式是时不变的，并设损失函数(11.9)式使 得(11.10)式中的Q是正定的。假设(11.33)式存在有一个 正定的定态解 ，那么，定态最优控制策略： 给出的闭环系统： 是渐进稳定的。 定理11.4 SISO系统的闭环极点 设输入和输出是标量，而且假定把定态最优反馈用于时 不变系统。进而假定在损失函数中仅惩罚输出和控制信 号，即Q1=CTC，Q2=ρ及Q12=0。闭环系统的极点是 下列2n阶方程在单位圆内的n个根： ρ+H(z-1)H(z)=0 其中： 是开环脉冲传递函数。 11.3 预报和滤波理论 预报、滤波和平滑 根据可用的量测值可得出(11.3)式的不同状态估计器。假 设已知数据： 我们要用Yk来估计x(k+m)。这是有三种情况： 平滑 (m0) 滤波 (m=0) 预报 (m0) 图11.6表示出这些不同的情况。本节