2012高中数学 第2章2.2.1第二课时课件 新人教B版必修5.ppt

* 2.2　等差数列? 2.2.1　等差数列 第二课时 课堂互动讲练 知能优化训练 第二课时 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1．等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母d表示. 2．等差数列的通项公式： _______________. 公差 an＝a1＋(n－1)d 知新益能 an，an＋2 充要 思考感悟? 1．两个数a，b的等差中项唯一吗？ 提示：唯一． 2．等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则am＋an＝_______. (2)下标成等差数列的项(ak，ak＋m，ak＋2m，…)仍组成_________ ． (3)数列{λan＋b}，(λ，b为常数)仍为_________. (4){an}和{bn}均为_________ ，则{an±bn}也是等差数列． (5){an}的公差为d，则d0?{an}为_____数列；d0?{an}为_____数列；d＝0?{an}为___数列. ap＋aq 等差数列 等差数列 等差数列 递增 递减 常 (n－m)d 首末两项的和 思考感悟? 2．若am＋an＝ap＋aq，则一定有m＋n＝p＋q吗？ 提示：不一定．例如在等差数列an＝2中，m，n，p，q可以取任意正整数，不一定有m＋n＝p＋q.　 3．等差数列的设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)． (2)对称设法：当等差数列{an }的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…. 课堂互动讲练 等差数列性质的应用 考点突破 例1 【分析】　解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式． 等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.　 【解】　法一：根据题意设此数列首项为a1，公差为d，则： a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d＝36， ∴4a1＋22d＝36,2a1＋11d＝18， ∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18. 法二：由等差数列性质得： a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 【点评】　法一设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．法二运用了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p, q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq. 自我挑战1　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24,求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为－8，求这四个数． 【分析】　由题目可获取以下主要信息： ①根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)； 巧设等差数列 例2 ②四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)． 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解． 【解】　(1)法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24. 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为 a，a＋d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，所以三个数为－2,2,6或6,2，－2. (2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 【点评】　利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－