初中数学解题教学的学习与思考.PPT

初中数学解题教学的学习与思考 王四宝 （江苏南京大学附属中学） 2016年12月 一、解题教学是解题活动的教学 1．解题活动是一种思维活动，思维活动既有过程又有结果，解题答案主要反映思维活动的结果，而获得答案的实质是发现与发明的过程． 2．解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程——暴露数学解题的思维活动． 3．暴露数学解题的思维活动有两个关键过程，一是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程（我们叫做第一过程的暴露），二是对初步思路反思的元认知过程. 1．主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首先和主要的目标应当是教会学生思考． 二、波利亚解题教学思想 2．强调应该教有目的的思考，教正规的演绎推理，也教非正规的似真的合情推理． （1）这里所说的思考不是空想，而是有目的的思考或有意义的思考或有成果的思考． （2）数学思考不是完全正规的，它不仅涉及到公理定义和严格证明，而且还包含许多别的方面，从观察到的情况得出的结论，归纳推理，类比推理．在具体的情况里辨认数学概念或从具体情况进行抽象． （3）波利亚充分肯定解题的一般教育价值，把教会学生解题看做是教会学生思考，培养他们独立探索的一条有效途径. 弄清问题 拟定计划 执行计划 检验回顾 修正方案 优化方案 反思、变换、推广、类比、概括、提炼、归一…… 基本认识 深入认识 再次审题 回顾反思 三、波利亚 “怎样解题”表 四、如何解题 1．积累认识资源 认识的资源，主要是指与解题有关的数学基础知识和基本技能．把认识的资源作为解题的要素，这是一个公认的常识．事实上，任何解题都是以一定的数学知识，包括运算技能、作图和画图技能、算法和程序性知识等，作为必要条件的． 2．掌握转化方法 解题，实质上就是确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系，实现由未知向已知的转化．因此把一个数学题转化为我们曾经解决过的与之相似的数学题就成为解题的关键． 3．及时调控能力 所谓调控，是指对所进行的解题活动（包括解题模式的识别，解题策略的选择，解题途径的探索，解题方案的构思，解题前景的评价等）的自我意识、自我评估和自我调整． 自我意识是以自身为意识对象的意识. 只有对解题活动的信息输入、加工、储存、输出有着清醒的自我意识，才能克服思维获得的盲目性，增强主动性和自觉性． 4．良好信念支持 信念是激励主体坚定不移地按照自己的观点、原则和世界观去行动的的个性倾向．具备信念的人，经常表现为坚信某种观点的正确性，并由此支配自己的行动．解题中的信念系统，泛指解题的非智力因素，即解题者学习积极性方面的因素，诸如观念、情感等方面的个性品质． 解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看待数学，怎样看待解数学题．解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心． 五、解题教学案例简析 例1．已知关于x的不等式 (x＋1)(ax－6)≤0．若x＝1是它的解且x＝2不是它的解，则a的取值范围是 ． 说明：【读清】列出条件和目标； 【读懂】认清条件和目标的意义； 【读透】说出本质． * 例2 如图，已知点A（0，0），B（ ，0），C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2， 第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于　 　． 3 O y x (A) A1 C 1 1 2 B A2 A3 B3 B2 B1 分析：在Rt△OBC中，由OC＝1，OB＝ ，可得∠OCB＝60°，又△AA1B1是等边三角形 ，所以∠COA1＝30°，所以OA1⊥BC；同理B1A2⊥BC， B2A3⊥BC，… Bn-1An⊥BC． 3 * O y x (A) A1 C 1 1 2 B A2 A3 B3 B2 B1 在Rt△OCA1中，可得OA1＝ ，同理可得B1A2＝ ， B2A3＝ ，… 所以Bn-1An＝ ．即第n个等边三角形的 边长等于 ． 3 2 3 4 3 8 3 2 n 3 2 n 点评：本题是一道与锐角三角函数、等边三角形、平面直角坐标系等有关的探索规律问题． 解决这类问题时，首先应运用题目已知条件计算第一个、第二个、第三个特殊情况下的结果，根据计算过程寻求相应的规律，从而探索出第n个情况的结果．这类试题渗透着由“特殊”到“一般”的数学思想方法． 例3 矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD