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中国科学: 数学 2012 年 第42 卷 第6 期: 579 591 二维风险模型中 相依下的破产概率 郁一彬 中国人民银行杭州中心支行 杭州 收稿日期 接受日期 国家自然科学基金批准号 和 资助项目 摘要 在本文中 我们把 连结函数用到二维的风险模型中 考虑两个模型索赔额之间基于 的相依关系 首先对二维复合 模型给出了最早破产时刻定义下的生存概率满足的偏微 分方程 然后对二维的复合二项模型 分别在连续型索赔额分布和离散型索赔额分布下给出了不同定 义的生存概率和破产概率的递归公式 并且特别选择了 连结函数 给出了相应的结果 另 外在离散型分布下 对于其 函数的不唯一性进行了说明 关键词 二维风险模型 复合Poisson 模型 复合二项模型 Copula 连结函数 破产概率 主题分类 62P05, 91B30 引言 研究背景和模型建立 对于风险模型的研究 很多学者一直以来都在努力通过各种角度去放宽模型独立同分布等理想条 件的限制 这方面的工作 除了可以去考虑其受到的外界随机环境的影响外 也可以探究模型自身内 部的相依关系 而对于相依关系 连结函数则是其中被广为关注的 特别是在近些年来 用 方法来刻画随机变量之间的相依关系也在保险精算以及金融风险管理等领域越来越普遍 本 文也将从这一角度出发考察模型自身的相依关系 其中对于一维模型 有不少学者从不同的模型、不同的角度进行了研究 特别是索赔发生时间间 隔和索赔额之间的相依关系 例如 和 考虑了 模型的索赔强度依赖于前一 次索赔额大小这样的相依关系 和 利用 连结函数讨论了索赔间隔时间和 索赔额间的任意相依关系 等人 则在复合 模型下讨论了索赔额完全依赖于本 次索赔距离上次索赔间隔时间的一些性质 等人 在 年具体给出了 连结 函数运用到复合 模型中的一些结果 而对于多维模型 则更多的考虑索赔发生之间的相依性 比如 还有 等人 在 年的文章中对两个风险模型建立了不同体系的 相依关系 其中就包括基于 连结函数 而 等人 在 年 则对两个 过程的 强度通过三个独立的 过程中对两个模型都起作用的其中一个建立起相依关系 我们第 节考 虑的模型也将继续保留了这一想法 英文引用格式 郁一彬: 二维风险模型中 Copula 相依下的破产概率 我们将在如下的二维风险模型中 用 连结函数来考虑模型的相依性问题 X t u c t − S t, k , , 其中 k , 表示模型中两个不同的 或者说两类不同质的产品 u 表示初始资产 c t 表示随时间 变化的保费收入 而 S t 表示到时间t 所产生的索赔总额 此时 破产时间可以有不同的定义 在我 们的模型中将考虑以下两类比较容易理解、也比较受关注的定义 两个过程中最早出现破产的时刻 T T ∧ T 两个过程同时发生破产的时刻 T {n X n , k , } 其中T 和T 为一维情形的破产时刻 即T {t X t } T {t X t } 并且定义 {∅} ∞ 从而可以由此定义不同的破产概率 将在下面出现时再具体给出定义 对于S t 和S t 的非独立性 之前的研究往往只注重两者的索赔时间间隔的相依性 而假设索 赔额分布为相互独立的 本文