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总 复 习 小结: 微分学 3. 几个基本概念的关系 例6.在第一卦限作椭球面 令 例8. 在过(1, 1, 1)点的所有平面中， 重积分 重积分计算的基本方法 重积分计算的基本技巧 * 目录 上页 下页 返回 结束 第七章 微分方程 第九章 多元函数微分法及其应用 第十章 重积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法: 代换因变量, 代换某组合式. 三个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 代换自变量, 一、一阶微分方程的求解 有时视 y为自变量 第七章 微分方程 1. 二阶可降阶微分方程的解法—降阶法 令 令 逐次积分求解 二、二阶微分方程的解法—两类 推广 第七章 微分方程 若 是(1)的解, (2) 二阶非齐次线性方程: · 非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解 · 非齐 解 = 齐 解 + 非齐特解 (1) 二阶齐次线性方程: 形如 2. 二阶线性微分方程解的性质及其结构 则 也是解； 若 是(1)的两无关解, 则 是通解. 形如 · 若 则 通 通 第七章 微分方程 3. 二阶常系数线性方程的解法 (1) 二阶常系数齐次线性方程的解法 解法: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定 形如 其通解的方法称为特征方程法. 特点: 未知函数与其各阶导数的线性组合等于0， 即函数和其各阶导数只相差常数因子. —特征方程 第七章 微分方程 (1)写出特征方程: 实根 特 征 根 通 解 (2)求出特征根: (3)按特征根的三种不同情况依下表写出通解: 第七章 微分方程 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 形如 解法:待定系数法 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设特解 ① ② 可设特解 其中 为特征方程的 k 重根 第七章 微分方程 1. 二元函数的定义域、极限及连续的定义 2. 多元显函数的偏导数、全微分、方向导数及梯度 3. 应用 (2) 极值与最值问题 “二元函数连续、可偏导、可微的关系” 第八章 微分学 抽象复合函数的二阶偏导数、隐函数的二阶偏导数 (1) 在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 (关键: 切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 法向量) 求无条件极值及条件极值的方法 求解最值问题 “拉格朗日乘数法” 极限存在 函数可微 偏导数连续 函数连续 偏导数存在 第八章 微分学 的切平面, 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解: 设 切点为 则切平面的法向量为 即 切平面方程 问题归结为求 在条件 下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数 切平面在三坐标轴上的截距为 由实际意义可知 为所求切点 . 唯一驻点 例7. 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离. 解: 设 为抛物面 上任一点， 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 到平面 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 , 故 的四面体体积最小的平面方程. 则四面体体积 求与三坐标面围成 解： 设平面方程为 其中x,y,z满足 作拉氏函数 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小体积存在 , 故所求平面方程为 二重积分 利用直角坐标计算(注意交换积分次序) 三重积分 空间曲面的面积 第十章 重积分 利用直角坐标计算 利用柱面坐标计算 立体的体积 “先单后重” 利用极坐标计算 “先重后单” 重积分的应用 2. 选择适当的坐标系; 1) 使积分域多为坐标面(线)围成; 2) 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 3. 选定积分次序, 能积分; 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 确定积分限. — 累次积分法 1. 画出积分区域的草图; ——要综合考虑积分区域的形状和被积函数的特点 原则: 积分次序的选择原则: 积分限的确定: (穿越法) 积分域分块要少; 计算简. 第十章 重积分 由平面、抛物面等所围 坐标系 转换关系 体积元素 积分区域 被积函数 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 适用情况 对二重积分: 若积分区域为圆域、扇形域、圆环域等, 应考虑用极坐标; 其它情形以直角坐标为宜. 被积函数呈 或 时, 对三重积分: 任意 由圆柱面、 圆锥面、旋转抛物面等所围 由球面或其一部分、 圆锥面等所围 返