主成分分析(本科).ppt

则样本协方差矩阵和样本相关矩阵分别为 其中 为样本均值.可以用S代替 用 代替R, 然后从S或 出发按类似于丄一节的方法求得样本主成分. 一、从S出发求主成分 设 为S的p个特征值, 为相应的单位特征向量，且彼此正交.则第i样本主成分为 它具有样本方差 各主成分之间的 样本协方差为零.此外，样本总方差 (7.3.1) 与 的样本相关系数 (7.3.2) 其中 在实际应用中,我们常常让 减去 使样本数据中心化. 这不影响样本协方差矩阵S,在前面的讨论中唯一需要变化的 是,将第i主成分改写成中心化的形式，即 (7.3.3) 定义： 若将各观测值 代替上式中的观测值向量x, 则第i主成 分的值为 (7.3.4) 称之为观测值 的第i主成分得分. * * 第七章 主成分分析 指导老师：XXX 授课人：XXX 第七章 主成分分析 §7.1 引言 §7.2 总体的主成分 §7.3 样本的主成分 假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，这包括众多的变量，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。 如果让你向上级或有关方面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？ 当然不能。汇报什么？ 发现在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。需要把这种有很多变量的数据进行高度概括，用少数几个指标简单明了地把情况说清楚。 §7.1 引言 在对某一事物进行实证研究中,为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律,人们往往要考虑与其有关的多个指标,这些指标在多元统计中也成为变量. 什么是主成分分析法？ 主成分分析（ Principal Components Analysis ）和因子分析（Factor Analysis）就是把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法。 主成分分析也称为主分量分析，是一种通过降维来简化数据结构的方法：如何把多个变量化为少数几个综合变量（综合指标） ，而这几个综合变量可以反映原来多个变量的大部分信息，所含的信息又互不重叠，即它们之间要相互独立，互不相关。 这些综合变量就叫因子或主成分，它是不可观测的，即它不是具体的变量（这与聚类分析不同），只是几个指标的综合。 在引入主成分分析之前，先看下面的例子。 成绩数据 53个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）. 从本例可能提出的问题 1.能不能把这个数据表中的6个变量用一两个综合变量来表示呢？ 2.这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？ 3.能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？ 事实上，它所涉及的问题可以推广到对企业、对学校、对区域进行分析、评价、排序和分类等。 比如对n个区域进行综合评价，可选的描述区域特征的指标很多，而这些指标往往存在一定的相关性（既不完全独立，又不完全相关），这就给研究带来很大不便。若选指标太多，会增加分析问题的难度与复杂性，选指标太少，有可能会漏掉对区域影响较大的指标，影响结果的可靠性。 这就需要我们在相关分析的基础上，采用主成分分析法找到几个新的相互独立的综合指标，达到既减少指标数量、又能区分区域间差异的目的。 一、主成分分析的基本思想 在对某一事物进行实证研究中,为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律,人们往往要考虑与其有关的多个指标,这些指标在多元统计中也成为变量.这样就产生了如下问题： 2.由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免地造成信息 的大量重叠,这种信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正的 特征与内在规律. 机变量的个数的增加,将增大增加分析问题的复杂性； 1.人们为了避免遗漏重要信息而考虑尽可能多的指标,随着随 基于上述问题,人们就希望在定量研究中涉及的变量较少,而得到的信息又较多.主成分分析正是研究如何让通过原来变量的少数几个现行组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法. 既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的共同因素,根据这一点,通过对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究,利用原始变量的线性组合形成几个综合指标(主成分),在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与简化问题的作用,使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾. 一般地说,利用主成分分析得到主成分与原始变量之间有如下的基本关系： （1）每一个新变量(主成分)都是个原始变量的线性组合； （2）新变量(主成分)的数目大大少于原始变量的数目； （3）新变量(主成分)