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可积性条件
返回 后页 前页 判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 极限 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回 定理9.1 (可积必有界） 若函数 在 上可积，则 在 上必有界. 证 设 由定义, 对 于是 于是 矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件. 证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 于是 而这与 相矛盾, 所以 称 为 f 关于分割 T 的上和,其中 称 为 f 关于分割 T 的下和,其中 对任意分割 定义2 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是： 振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连 续性相关联的概念. 常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 每个 ，从而 第一种方法: 定理9.4（连续必可积） 连续，则 可积. 若 连续,从而 一致连续.于 证 从而 因此当 第二种方法: 定理9.5（单调必可积） 证 不妨设 是非常值的增函数，则对任意分割 于是 因此,若 第三种方法: 于是 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积） 此时可用第三种方法证: f 在 [a, b] 上可积. * * * * * * * * * * * * * * * 返回 后页 前页 * * * * * * * * * * * * * * *
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