同济第3版-高数-(6.4) 第四节 可降阶的高阶方程.ppt

例：求方程 y y ? -( y ?)2 = 0 的通解。 这是二阶方程求通解的问题， 对高阶方程的求解宜先考虑可否降阶。 注意到该方程不显含 x ，即它是 形如 y ? = f( y, y ? )的缺项二阶方程， 故可通过固定代换降阶求解。 C. P. U. Math. Dept · 杨访 令：y ? = p，并将二阶导数改写为 代入给定二阶方程，使降阶为如下形式的一阶方程 易看出 y ? = p = 0 是该方程的一个平凡解。 当 p ? 0 时，约去 p 有 由于当 p ? 0 时总有 y ? 0，故该方程是可分离变量 方程。 用降阶法求解 分离变量有 两边积分得 ln?p?= ln?y?+ C，即有 y ? = p = C1 y， C1 = ? e C. 这又是一个可分离变量方程。 再分离变量并两端积分便求得方程通解为 ln?y ?= C1 x + C ?，即有 y = C2 e C1 x， C2 = ? e C ?. 例：求方程 y ? ln y +( y ?)2/y = 1 的通解。 这是二阶方程求通解的问题。 注意到该方程不显含 x ，即它是形如 y ? = f( y, y ? )的缺项二阶方程，故可 通过固定代换降阶求解。 必须注意的是，用降阶法化二阶 方程为一阶方程其求解过程常常比较 繁杂，因此对于可降阶还应注意观察 方程特点，寻求简洁的解法。 令：y ? = p，并将二阶导数改写为 代入方程，则给定二阶方程 y ? ln y +( y ?)2/y = 1 化 为如下形式的一阶方程 易看出，这是个 n = -1 的伯努利方程。 用降阶法求解 通过固定代换降阶 对导数项凑微分有 于是方程化为以 p 2 为未知函数的线性方程，其中 解伯努利方程 由线性方程通解公式有 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分 方程。由于高阶方程的求解通常比一阶方程困 难得多，因此对于高阶方程常常不是直接考虑 方程的求解，而是设法通过降阶将其转化为低 阶方程求解。 可以通过变量代换化为较低方程的高阶微 分方程称为可降阶的方程。 可积方程求解的基本原理是通过积分消去导数或微 分记号，使导数或微分关系式转化为函数关系式。 由于不定积分计算只能对单变量函数进行，因此若 将导数视为微商，则能够由积分法求解的方程只能是可 分离变量方程，即方程中至多只含有 三个变量，如形如 F( x ,y ,y ? )= 0 的方程，只含有三个变量 x,y,y ?. 因而能够由积分法求解的方 程一般是一阶方程。 一般高阶方程 F( x ,y ,y ?,y ? ,… ,y (n) )通常含 n + 2 个变量，因此能由积分法求解的高阶方程必须是缺变量 的。由于变量的缺失，使得有可能通过变量代换降低方 程所含的导数阶数，从而使高阶方程有化为低阶方程求 解，通常称这类高阶方程为可降阶的高阶方程。 可降阶方程是一些特殊的高阶方 程，这类方程的讨论就是要研究哪 些高阶方程可通过变量代换的方 法降阶及如何通过代换降低方 程的阶数。 这是一类特殊的 n 阶方程，由于这类方程中只含 两个变量 x、y ( n )，因此可以通过逐次积分降低导数阶 数求得方程的通解，即有 y ( n )= f( x )， y ( n -1 )= ∫ y( n )d x = ∫ f( x )d x + C1， y ( n -2)= ∫ y( n -1 )d x =[∫ f( x )d x + C1 ]+ C2， … … … … … … … … … ， 如此下去，连续进行 n 次积分就可求出未知函数 y = ?( x ,C1 ,C2 ,…，C n )． 例：求微分方程 y ??= e 2x - cos x 的通解。 该方程是形如 y( n )= f( x )的可降阶的三阶方程，对 这类方程只需逐次积分就可求得方程的通解。 对给定方程连续三次积分有 y ? = ∫ y ??d x = ∫( e 2x - cos x )d x = 1/2e 2