整式有关概念参考教材详解及典例分析.docVIP

第二章 整式 0 一、知识频道 概念内涵 概念外延 概念缘由 1、代数式的有关概念 代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。 说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：要写成的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（＋）平方米。 代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。 说明：当系数是1或－1时，1省略不写，如－ab，等。 探究引导：在小学我们研究过一些图形的面积，如三角形、正方形、长方形和圆的面积公式，我们知道三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽；圆的面积＝。如下图所示，我们用一些字母代替三角形的底和高、正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径，那么这些面积公式就可以分别表示为：三角形的面积为_________; 长方形的面积为___ _ 正方形的面积为________; 圆的面积为____________.这些面积公式的表现形式比文字表示要简捷。象，st，，这些式子都是代数式，它们都是数与字母的积，它们的系数分别是，1，1，1。 2、整式的有关概念 （1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式． 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如就不是一个单项式，因为2y与x之间是除法运算．但是， ab2是单项式，因为是一个数．a2是一个单项式，因为a2可以看作是a·a．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0， ，x，等都是单项式 （2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和．如单项式3x2、2xy、x2y、x的次数分别是2、2、3、1．特别地，单独的一个数字，如3，－９等，可以当做0次单项式来看待． （3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数． 说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x3yz4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8． （4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x2＋2x－1是由单项式x2，2x和－1相加而得到的 （5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数． 说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x3－x2y2＋x中，单项式x3的次数是3，单项式－x2y2的次数是4，单项式x的次数是1，所以多项式x3－x2y2＋x的次数是4． （6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。 说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x2中，二次项是－3x2． （7）常数项的定义：　在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。 （8）降幂排列：　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列． （9）升幂排列　：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如： x3＋2x4y－7xy3－y4－7＝2x4y＋x3－7xy3－y4－7　　　　　　　　　　　　　　　① ＝－7－y4－7xy3＋x3＋2x4y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② ＝－y4－7xy3＋2x4y＋x3－7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ ＝－7＋x3＋2x4y－7xy3－y4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④ 其中，①是按x的降幂排列；②是按x的升幂排列；③是按y的降幂排列；④是按y的升幂排列． （10）整式的定义：　单项式和多项式统称整式． 说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x2，x等都是整式，多项式3－x，－x3－x＋1等都是整式；在整式2x，x4－1中，2x是单项式，x4－1是多项式． 探究引导：．4a, ,x,a2h等，都是数字与字母的乘积.例如4