时两角和与差余弦.docVIP

第一课时 两角和与差的余弦 教学目标： 掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质. 教学重点： 余弦的差角公式及简单应用 教学难点： 余弦的差角公式的推导 教学过程： Ⅰ.课题导入 在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系? Ⅱ.讲授新课 接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题. 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况. 设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则： a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β） 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ 所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β）） 两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果? cos ［α－（－β）］ ＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β） ＝cos αcos β－sinαsinβ 即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β）） 请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系? (1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系. (2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系. 请同学们仔细观察它们各自的特点. (1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差. (2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和. 不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值. 如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos（45°－30°） ＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝·＋·＝ 或：cos 15°＝cos （60°－45°） ＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45° ＝·＋·＝ 请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果? cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα 即：cos（－α）＝sinα 再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果. cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α） 即：sin（－α）＝cosα Ⅲ.课堂练习 1.求下列三角函数值 ①cos （45°＋30°）②cos 105° 解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30° ＝·－·＝ ②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45° ＝·－·＝ 2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ. 解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β） 将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝ 3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值. 解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝ 4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值. 解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点， 得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－. ∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝（－）×（－）－×（－）＝ 5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值. 解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－ 可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝ 即：2cosαcosβ＝ ① cos（α－β）－cos（α＋β）＝1 即：2sinαsinβ＝1 ② 由②÷①得＝tanα·tanβ＝ ∴tanα·tanβ的值为. 6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值. 解：由已知cosα