工程力学应力状态分析2.ppt

* s t o 与s3平行的斜截面上的应力可在s1、s2 应力圆的圆周上找到对应的点。 §12 -4 三向应力状态 广义胡克定律 与s2平行的斜截面上的应力可在s1、s3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与s1平行的斜截面上的应力可在s2、s3 应力圆的圆周上找到对应的点。 1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 图a 图b 2).整个单元体内的最大切应力为： t max 结论 —— 3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面： 例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力?max及作用面。 解：由图示应力状态可知?z=20MPa为一主应力，与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。 20 20 40 (b) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。 20 20 40 (b) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 图b所示应力状态对应的应力圆 由此可得： 用应力圆求主应力、主平面，最大切应力?max及作用面。 由此可知： t s O s 3 s 1 A C D 2 D 1 (c) B 依据三个主应力值可绘出三个应力圆 t s O s 3 s 1 A C D 2 D 1 (c) t s O t max s 3 s 2 s 1 B A C D 2 D 1 2 a 0 (d) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 作用面与?2平行而与?1成45°角，如图e所示。 最大切应力对应于B点的纵坐标，即 x (e) s 3 s 2 s 1 t max 45 ° 17 ° t s O t max s 3 s 2 s 1 B A C D 2 D 1 2 a 0 (d) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 二、三向应力状态： ——（广义虎克定律） + + 一、单向应力状态： 广义胡克定律 可以证明主应力与主应变方向一致 三、广义胡克定律的一般形式: 平面问题（ ） 广义胡克定律的一般形式: 广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向 的正应变： a a+90 求出 ,就可求得 方向的正应变 例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：e1 = 240 ?10-6， ?3= -160?10-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 v =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 ，所以该点处的平面应力状态 解：自由面上 ?3 ?1 注意： 例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：e1 = 240 ?10-6， ?3= -160?10-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 v =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 ?3 ?1 例：已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：e1 = 240 ?10-6， ?3= -160?10-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 ? =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 ?3 ?1 平面问题广义胡克定律的一般形式: 也可写成: 例：如图所示拉杆，横截面为圆形D=2cm，E=2.1×106 MPa， 。求：F。 600 x A F σy A 解：1、取单元体: 2、广义胡克定律（应力与应变关系） 3、确定外力: 代入数据，得：F = 3980（kN） y 例：如图所示空心圆轴，外径 D = 120 mm，内径 d = 80 mm， E =2.0 × 105 MPa，v = 0.28，ε450=2.0 ×10-4。求：m。 解：1、取单元体 2、广义胡克定律（应力与应变关系） 3、确定外力 x 450 m m = 8504（Nm） 代入数据，得： 例 已知图示简支梁C点45°方向的线应变?，材料的弹性模量为E，横向变形系数为n 求载荷F。 l/3 2l/3 F C 45 ° b h 解：1、C点为纯剪切应力状态 t C 45° ?3=t ?1=t 2F/3 -F/3 Fs 主应力方向如图中红线所示 主应变 ?1 已知 2、广义胡克定律 ? 代入上式 例 图示圆截面杆，已知d=100mm, E=200Gpa, n =0.3, . 求F、