平均变化率、瞬时速度与导数.ppt

[知识与技能] 了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率，知道函数的瞬时速度的概念，理解导数的概念，能利用导数的定义求导数． 对导数的定义要注意两点： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数． 4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x)，称这个函数f′(x)为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的 ，简称 ． [例1]　过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． [解析]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 ＝Δx3＋3Δx2＋3Δx， 某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为(　　) A．－4　　　　　　　　　 B．－8 C．6 D．－6 [解析]　令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时的平均速度为 [说明]　瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因此，要求瞬时速度应先求出平均速度． 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度． [解析]　由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2， [例3]　求y＝x2在点x＝1处的导数． [解析]　因为Δy＝(x＋Δx)2－x2 ＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， [例4]　已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． [分析]　求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函数在各点的导数． [解析]　因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋(Δx)2， 利用导数定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． [辨析]　求导数要与代数式的变形结合起来，利用分子有理化的方法，最终约去分子上的根号． [答案]　C 2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时速度为 (　　) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案]　C [解析]　s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt， A．与x0，Δx有关 B．仅与x0有关，而与Δx无关 C．仅与Δx有关，而与x0无关 D．与x0，Δx均无关 [答案]　B [解析]　f(x)在x0处的导数与x0有关，与Δx无关． [答案]　1 [解析]　根据导数的定义， [答案]　(Δx)2＋6Δx＋12 [解析]　Δy＝(Δx＋2)3－2－23＋2 ＝Δx3＋6Δx2＋12Δx， 第三章 导数及其应用 (选修1-1) 人教 B 版数学 本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念． 本节难点：导数的概念． 导函数 导数 * *