经济数学基础义导数与微分.docVIP

第2章 导数与微分 2.1 极限概念 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例2 讨论当时，的变化趋势. 例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。 “一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子?天下 定义2.3 设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为 或? 若自变量趋于时，函数没有一个固定的变化趋势，则称函数在处没有极限. 在理解极限定义时要注意两个细节： 1.时，（） 2.（包括这两种情况） 例1 讨论时, =？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，，即=4 例2?讨论函数,当时的极限 解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由 图形得到 2.1.3 左极限和右极限 考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限. 因为在处无定义. 又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4? 设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义， 如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作　= L； 如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作= R . 极限存在的充分必要条件： 极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即 例3? , 求 解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限. ， 可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量 称当时，为无穷小量，简称无穷小. 补充内容： 无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是： 变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即 无穷小量的有以下性质： 性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.????? 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量. 例如 因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”： 定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大；反之，若是无穷大，则是无穷小. 例4?，当时， 解： 由图形可知，当时，，当时，是无穷小量. 2.2 极限的运算 2.2.1 极限的四则运算法则 在某个变化过程中，变量分别以为极限，则 ， 例1 求 解： 2 求 解： 例3 求 解：4 求 解： 两个重要极限 几何说明： 如图，设为单位圆的圆心角，则对应的小三角形的面积为，对应的扇形的面积为，对应的大三角形的面积为当时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的. 例1 ???? ? 解：= 2. 例2? 求极限 解: 例3? 求极限 解 2.3 函数的连续性 定义 设函数在点的邻域内有定义，若满足，则称函数在点处连续.点是的连续点. 函数间断、间断点的概念 如果函数在点处不连续，则称在点处发生间断.使发生间断的点，称为的间断点 例如 函数， 在定义域内都是连续的.? 1 ? ,问在处是否连续？ 注意：此函数是分段函数，是函数的分段点. 解: ， 不存在，在处是间断的. 例2 ? ,问在处是否连续？ 解: ???????????????? （无穷小量×有界变量=无穷小量）在处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的； （2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的. 例3 解: 注意： 是初等函数，在处有定义，利用 结论有极限值等于函数值. 2.4 导数与微分的概念. 三个引例 ? 边际成本问题 ? 瞬时速率问题 ? 曲线切线问题 引例1： 边际成本问题 C—总成本，—总产量 已知 （当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量） ），（成本平均变化率），（边际成本） 引例2: ?瞬时速率问题 路程是时间的函数，当从时，从 ?（平均速率） ? （在时刻的瞬时速率） 引例3：曲线切线问题 考虑曲线在处的切线斜率. 当时，对应的，曲线上和两点间割线的斜率为? （当时），?称为切线的斜率. 关于函数 ，，考虑极限