数值分析chap.docVIP

第二章 插值法 1．当时，,求的二次插值多项式。 解： 则二次拉格朗日插值多项式为 2．给出的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知， 若采用线性插值法计算即， 则 若采用二次插值法计算时， 3．给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。 解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当时， 令 取 令 则 当时，线性插值多项式为 插值余项为 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。 总误差界为 4．设为互异节点，求证： （1） （2） 证明 令 若插值节点为，则函数的次插值多项式为。 插值余项为 又 由上题结论可知 得证。 5设且求证： 解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为 = 插值余项为 6．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为 设步长为h，即 若截断误差不超过，则 7．若， 解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。 解：函数的展式为 其中 又是次数为的多项式 为阶多项式 为阶多项式 依此过程递推，得是次多项式 是常数 当为正整数时， 9．证明 证明 得证 10．证明 证明：由上题结论可知 得证。 11．证明 证明 得证。 12．若有个不同实根， 证明： 证明：有个不同实根 且 令 则 而 令 则 又 得证。 13．证明阶均差有下列性质： （1）若，则 （2）若，则 证明： （1） 得证。 + 得证。 14．求及。 解： 若 则 15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 解： 若，且插值多项式满足条件 插值余项为 由插值条件可知 且 可写成 其中是关于的待定函数， 现把看成上的一个固定点，作函数 根据余项性质，有 由罗尔定理可知，存在和，使 即在上有四个互异零点。 根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点， 故在内至少有三个互异零点， 依此类推，在内至少有一个零点。 记为使 又 其中依赖于 分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即 在小区间上 16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足 解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式 设 其中，A为待定常数 从而 17．设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。 解： 若 则步长 在小区间上，分段线性插值函数为 各节点间中点处的与的值为 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 误差 又 令 得的驻点为和 18．求在上分段线性插值函数，并估计误差。 解： 在区间上， 函数在小区间上分段线性插值函数为 误差为 19．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解： 在区间上， 令 函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为 误差为 又 20．给定数据表如下： Xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 Yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值，并满足条件： 解： 由此得矩阵形式的方程组为 2 1 M0 2 M1 2 M2 2 M3 1 2 M4 求解此方程组得 三次样条表达式为 将代入得 由此得矩阵开工的方程组为 求解此方程组，得 又三次样条表达式为 将