数值分析引论教案.docVIP

第一章 引论 教学目标： 1.了解科学与工程计算的一般过程，算法的基本概念，如算法的分类和算法的计算复杂性等； 2.了解数值分析的研究对象、内容和意义，掌握该门课程的学习方法等； 3.了解误差的来历，理解误差的分类以及原因； 4.理解和掌握误差的几种度量方法，如绝对误差（界）、相对误差（界），有效数字等，理解几种度量之间的关系，并能运用相关概念和公式解决有关误差问题； 5.了解误差传播的内涵与表现以及初值误差传播的含义，了解误差分析的几种方法，理解并掌握泰勒公式分析函数值和算术运算的误差分析方法； 6.理解并掌握病态问题的含义及条件数的作用，并能分析一些简单数值方法的稳定性； 7.掌握设计数值方法时避免误差危害的若干原则； 8.通过复习线性代数的一些基本概念，掌握矩阵的特征值（向量）、线性空间、线性赋范空间、内积和范数等概念，能熟练计算内积和范数等简单问题； 9.通过复习几种常见的矩阵，了解几种特殊矩阵的性质以备后续章节的学习。 教学重点： 1.误差的分类及原因；2.误差的几种度量方式及相互关系；3.病态问题及条件数概念；4.避免误差危害的若干原则；5.内积及范数的概念、计算和相互关系。 教学难点： 1.误差的几种度量方式及相互关系；2.避免误差危害的若干原则及经典例子讲解；3.内积及范数的计算。 教学方法： 教具： §1.1 数值分析的研究对象、内容与意义 1.1.1 科学与工程领域中问题求解的一般过程： 1．提出实际问题； 2．建立数学模型； 3．提出数值问题； 4．设计可靠、高效的算法； 5．程序设计、上机实践计算结果； 在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。 随着计算机技术的发展，科学计算与科学理论、科学实验一并被称为近代科学研究的三大基本手段。 分类方法2：从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值算法，否则为非数值算法。 分类方法3：按算法的内部特征分为确定型算法与非确定型算法。 通常的科学计算是实现确定型算法，“确定型”是指计算机在执行算法时，做完每一步都精确地知道下一步该怎么做。 智能计算是实现非确定型算法，这是一类基于选择的算法，计算机在执行这种算法时，存在不能精确地知道下一步该做什么而必须在几种可能方案中选择一种去执行的情况。 分类方法4：精确算法与近似算法 精确算法是指在没有运算舍入误差的假设下，能在确定的运算次数内获得数学问题的精确解。 近似算法本身有方法误差，从而在任何有限的运算次数内只能获得数学问题的近似解。 实际上，由于计算机的字长有限，每次运算都有舍入误差，从而无论精确解法还是近似算法都只能获得数学问题的近似解。 本课程介绍确定型数值串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。） 3．算法的可靠性：包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。 一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。 可靠算法的优劣，应该考虑其计算复杂性： 时间复杂度：计算机运行时间； 空间复杂度：占据计算机存储空间的多少； 逻辑复杂度：影响程序开发的周期以及维护； 1.1.3 数值分析研究的对象和内容 1．数值分析：又名数值方法、数值计算方法、计算方法、科学与工程计算等； 2．范畴：计算数学；（当前：信息与计算科学） 3．研究对象是研究建立各种数学问题的数值计算算法的方法与理论； 4．任务是提供在计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂性好的各种常用算法，这些算法都是串行的确定型的数值计算算法； 5．内容： 数值逼近：代数插值（Lagrange,Newton,Hermite，样条插值以及多元插值）和最佳逼近（正交多项式和最小二乘法，曲线拟合，平方逼近和一致逼近）； 数值积分和数值微分：Newton-Cotes,Guess,Romberg，复合求积公式；Richardson外推法；反常积分公式与高维近似积分公式等； 线性代数方程组的直接解法和迭代方法：Gauss消去法，主元素消去法，直接三角分解法，Jacobi和Gauss-Seidel迭代法，超松弛迭代法和共轭梯度法等； 代数特征值问题：幂法和逆幂法，QR方法等； 非线性方程（组）的数值解法：二分法，迭代法（Newton,割线法和Muller法，加速迭代方法）； 微分方程数值解：Euler法,Runge-Kutta法,单步法，线性多步法，有限差分法，有限元法等。 6．学习方法： a. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”和“讲理论”的特点； b. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基本提法，逐步深入； c. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉； d. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是为用于实际计算，必须真会算。 7．本课程的基本要求：