数值分析李庆扬王能超易大义著华中科技大学出版社第版答案.docVIP

第一章 绪论 1．设,的相对误差为，求的误差。 解：近似值的相对误差为 而的误差为 进而有 2．设的相对误差为2%，求的相对误差。 解：设，则函数的条件数为 又, 又 且为2 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,, , , 解：是五位有效数字； 是二位有效数字； 是四位有效数字； 是五位有效数字； 是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) . 其中均为第3题所给的数。 解： 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为 则何种函数的条件数为 又 故度量半径R时允许的相对误差限为 6．设，按递推公式 （n=1,2,…） 计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差？ 解： …… 依次代入后，有 即， 若取, 的误差限为。 7．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。 解：， 故方程的根应为 故 具有5位有效数字 具有5位有效数字 8．当N充分大时，怎样求？ 解 设。 则 9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过？ 解：正方形的面积函数为 . 当时，若, 则 故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过 10．设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解： 当增加时，的绝对误差增加 当增加时，保持不变，则的相对误差减少。 11．序列满足递推关系 (n=1,2,…), 若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解： 又 又 计算到时误差为，这个计算过程不稳定。 12．计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？ , , ， 。 解：设， 若，，则。 若通过计算y值，则 若通过计算y值，则 若通过计算y值，则 通过计算后得到的结果最好。 13．,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。 计算，求对数时误差有多大？ 解 , 设 则 故 若改用等价公式 则 此时， 第二章 插值法 1．当时，,求的二次插值多项式。 解： 则二次拉格朗日插值多项式为 2．给出的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知， 若采用线性插值法计算即， 则 若采用二次插值法计算时， 3．给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。 解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当时， 令 取 令 则 当时，线性插值多项式为 插值余项为 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。 总误差界为 4．设为互异节点，求证： （1） （2） 证明 令 若插值节点为，则函数的次插值多项式为。 插值余项为 又 由上题结论可知 得证。 5设且求证： 解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为 = 插值余项为 6．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为 设步长为h，即 若截断误差不超过，则 7．若， 解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 章平8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。 解：函数的展式为 其中 又是次数为的多项式 为阶多项式 为阶多项式 依此过程递推，得是次多项式 是常数 当为正整数时， 9．证明 证明 得证 10．证明 证明：由上题结论可知 得证。 11．证明 证明 得证。 12．若有个不同实根， 证明： 证明：有个不同实根 且 令 则 而 令 则 又 得证。 13．证明阶均差有下列性质： （1）若，则 （2）若，则 证明： （1） 得证。 +