21.5 三重积分21.5 三重积分.doc

§5 三重积分 教学目的 掌握三重积分的定义和性质． 教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题． 教学程序 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义1 设是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有 , 则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作 =， 其中称为三重积分的被积函数，称为积分变量，称为积分区域． 可积函数类 （ⅰ）有界闭区域上的连续函数必可积. （ⅱ）有界闭区域上的有界函数的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则必在上可积. 二、化三重积分为累次积分 定理21.15 若函数在长方体=上的三重积分存在，且对任何，二重积分 = 存在，其中=，则积分 也存在，且 =. (1) 证明 用平行于坐标轴的平面网作分割，它把分成有限个小长方体 =， 设,分别为在上的上、下确界．对于上任一点，在=上有 ， 现按下标相加，则有 ==， 及 ， (2) 上述不等式两边是分割的上和与下和．由于在上可积，当时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得在上可积且 =. 由§2知道，（1）式右端中的二重积分可化为累次积分计算，于上我们就能把（1）左边的三重积分化为三次积分来计算．如化为先对，然后对，最后对来求积分，则为 =. 为了方便有时也可采用其他的计算顺序． 若简单区域由集合 所确定，在平面上的投影区域为 = 是一个型区域，设在上连续，，在上连续，，上连续，则 ==， 其他简单区域类似． 一般区域上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算． 计算，其中为由 平面,所围的区域. 解 = ===. 例2 求，其中为. 解 =++， 而=，而为区域：,即 ，其面积为，故 ==， 同样可得==， 所以. 三、三重积分换元法 设变换：，，把空间中的区域一对一地映成空间中的区域，并设函数，，及它的偏导数在区域内连续且行列式 =0 , , 则=，（4） 其中在上可积． （一）、柱面坐标变换 如下图所示 变换：， ==， 按（4）式 =， 这里为在柱面坐标变换下的原象． 在柱面坐标中： =常数，是以轴为中心轴的圆柱面； =常数，是过轴的半平面； =常数，是垂直于轴的平面． 若在平面上的投影区域，即=时 =， 其中二重积分部分应用极坐标计算． 例3 计算，其中是由曲面与为界面的区域． 解 在平面上的投影区域为 = =. （二）、球坐标变换 变换：， ==， 变换公式为： = 在球面坐标中： =常数，是以原点为中心的球面 =常数，是过轴的半平面． =常数，是以原点为顶点，以轴为中心轴的圆锥面． 当时, = . 例4 求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中和为常数． 解 球面方程在球坐标系下表示为， 圆锥面在球坐标系下表示为， ， ==. 例5 求=，其中为由与所围区域． 解 作广义球坐标变换： 变换：， =， ， ====. 作业 P251:1;2;3;4;5. 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 1