§6 Mthematica求定积分以及相关应用问题精选.pdf

§6 Mathematica求定积分以及相关应用问题 6.1 用Mathematica求定积分 1 定积分的运算 在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变 量的上下限。 (1) Integrate[f,{x,下限,上限}] (2) b f (x)dx  a 5 x 1 例6.1 计算定积分1 x dx 。 5 x 1 解 In[1] : 1 dx x Out[1]=4-2ArcTan[2] 和不定积分一样,除了我们指定的积分变量之外,其它所有符号都被作常数处理. 2 2 3x a 例6.2 计算定积分 x e dx 。 0 解 In[2] : 2 x 2 Exp [3x  a]dx 0 2ea 26e6a Out[2]    27 27 2 数值积分 如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而 失去意义时，我们就可以用数值积分求解。数值积分只能进行定积分的运算，即 必须指定上、下限。用Mathematica求解数值积分有两种形式： (1) NIntegrate[f,{x,a,b}] x 从a 到b ，做f (x) 的数值积分。 (2) N[ b f (x)dx ] 求定积分表达式的数值 a  3 例6.3 求定积分 sin(sin x)dx 。 0 472 解 用Integrate命令无法求sin(sin x) 的定积分，用NIntegrate命令即可求得其数值积 分。 In[1]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi/3}] Out[1]=0.466185 求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。 In[2] : N [ Pi / 3 Sin[Sin[x ]]dx]  0 Out[2]=0.466185 2 1 x 例6.4 求定积分 e dx 的近似值。 0 解 被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。 In[3]:=NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}] Out[3]=0.746824 3 近似值积分 用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点 a  x0  x1   xn  b 将区间[a,b] 分成n 个长度相等的小区间，每个小区间 长度为 b a (ba)i b  a xi  xi  a  xi1  xi y i  f (x) n n n 矩形法公式： b b  a