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直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析
1 直线一级倒立摆数学模型的建立 1
2 直线一级倒立摆系统的实际模型 5
3 直线一级倒立摆系统的性能分析 6
3.1相关理论的介绍 6
3.2倒立摆系统的性能分析 7
1 直线一级倒立摆数学模型的建立
所谓系统的数学模型,是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。数学模型是分析、设计、预
测以及控制一个系统的理论基础。因此,对于实际系统的数学模型的建立就显得
尤为重要。系统数学模型的构建可以分为两种:实验建模和机理建模。实验建模
就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对像
并通过传感器检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统的输入-输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上,通过物理、化学的知识和数
学手段建立起系统内部的输入-状态关系。
对于倒立摆系统,由于其本身是不稳定的系统,无法通过测量频率特性的方
法获取其数学模型,实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些
次要的因素后,倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统,其机械部分遵守牛顿
运动定律,其电子部分遵守电磁学的基本定律,因此可以通过机理建模得到系统
较为精确的数学模型。
为了简单起见,在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素,例如空
气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连
接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。将小车抽象为质点,
摆杆抽象为匀质刚体,摆杆绕转轴转动,这样就可以通过力学原理建立较为精确
的数学模型。我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉-拉格朗日原理建立系
统的动力学模型。对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统,我们采用通俗易懂
的牛顿力学分析法建模。
为了建立直线一级倒立摆的数学模型,采用如下的坐标系:
图1直线一级倒立摆的物理模型
其中,F为加在小车上的力,M为小车质量,m为摆杆质量,I为摆杆惯量,
l为摆杆转动轴心到杆质心的长度,x为小车位移,为摆杆与垂直向上方向的夹角,b为小车在滑轨上所受的摩擦力,N和P
分析小车水平方向上的合力,我们可以得到以下的方程:
(1)
分析摆杆水平方向上的受力,我们可以得到如下的方程:
(2)
即:
(3)
综合(2-1)和(2-3),我们可以得到以下的动力学方程:
(4)
分析摆杆垂直方向上的合力,我们可以得到如下的方程:
(5)
即:
(6)
根据摆杆的力矩平衡方程,可以得到如下的方程:
(7)
在(7)式中我们令为摆杆与垂直向下方向的夹角,则。
合并(6)与(7)我们可以得到以下的动力学方程:
(8)
因为倒立摆在保持垂直向方向上的平衡时的很小,即,则可以进行做近似处理:,,。设u代表被控对象的输入力F,式(4)和式(8)经线性化后为:
(9)
对式(2-7)进行拉普拉斯变化,得到以下的方程式:
(10)
在(10)式中推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度,求解方程组(10)的第一个方程可以得到:
(11)
令,则有:
(12)
将式(11)代入方程组(10)的第二个方程,可以得到:
(13)
整理后等到以下的传递函数:
(14)
其中,。
设系统的状态空间方程为:
(15)
对方程组(7)进行代数变换可得:
(16)
整理得到系统的状态方程为:
(17)
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