矩正变换在求多项式的最大公因式中的应用.doc

第一章 引言 在高等代数中，最大公因式是多项式理论中的一个重要概念，求数域上多个多项式的最大公因式通常用因式分解法、辗转相除法，然而不是所有的一元多项式都能因式分解；但当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐，而推广到多个多项式的情形计算量更大.若从另一个角度出发，用矩阵初等变换的方法来处理这些代数问题，则有事半功倍之效，本文总结出用矩阵的准初等变换和-矩阵的初等变换求最大公因式的两种方法以及多项式最大公因式的矩阵求法的应用. 定义 设.如果中的多项式满足， .那么称是的公因式. 定义 设.称中的多项式是的最大公因式.如果 1）,,即是的公因式. 2）对中的任一多项式来说，一旦，，就有. 由于，那么对F中的任意非零常数，总有，且，所以中若干个多项式的公因式总是存在的，至少中的非零常数就是它们的公因式. 定理 设 （i）与的最大因式总是存在的； （ii）若是与的最大公因式，则存在中的多项式使得. 证明 当时，定理显然成立. 现在假设与不全是零多项式，作的子集合 .显然所以中含有非零多项式，是中任意一个次数最低的非零多项式，那么存在，使得 下面证明是与的最大公因式. 先证明是与的公因式，假如不能整除，用去除所得的商式和余式分别是，即 这里的，且,将式带入，并整理得： 因此，而且，这与是中任意一个次数最低的非零多项式相矛盾，从而.类似可证. 现在设，且，由得 ，因此是与的最大公因式. 设是与的任意一个最大公因式，存在,使得，将代入，得，再令、，就有. 对于多个多项式的最大公因式完全有与定理1一样的结论，证明方法也类似，在这里列出但不予以证明. 定理2 设 （i）的最大公因式总是存在的； （ii）若是的一个最大公因式，则存在，使得 . 下面给出求两个多项式的最大公因式的辗转相除法.设，是的两个多项式.如果，中有一个是零多项式，那么另一个就是它们的最大公因式.现在假设，都不是零多项式，不妨设.做带余除法，用去除，得到商，余式；如果，那么再用去除，得到商，余式；如果，那么再用去除，得到商，余式；如此辗转相除下去，显然所得余式的次数不断降低，即 因此在有限次之后，必然有一个余式为零，于是有一串带余除法算式： ， ， ， …… ， . 与的最大公因式是，也就是与的一个最大公因式.同样的道理，有式中的倒数第二个等式知，就是与的一个最大公因式.逐步推上去，就是与的一个最大公因式.由此看出，这一串带余除法算式的最后一个不等于零的余式就是与的最大公因式.这种求最大公因式方法叫做辗转相除法.进一步，还能利用求出，使得. 例 求与的最大公因式. 利用辗转相除法.首先用去除,得到的余式为；然后再用去除，得到的余式为；然后再用去除，得到的余式为，然后再用去除，得到的余式为， 这样得到的第四个余式.最后一个不等于零的余式，把最高次项的系数化为1，即 . 故=. 第二章 多项式最大公因式的矩阵求法 矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且有许多重要的应用.下面总结出运用矩阵的初等变换求多项式的最大公因式的两种方法. 2.1分离系数法 为了叙述方便，把由几个多项式构成的集合称为多项式系 . 引理1 设且，则 (i) ,即交换多项式系中某两个多项式的位置，多项式系的最大公因式不变； (ii),， 即用一个非零常数乘以多项式系中某个多项式，多项式系的最大公因式不变； (iii) ，即用一个非零常数乘以多项式系中某个多项式后加到另一个多项式上，多项式系的最大公因式不变； 证明 (i)，(ii)都是显然的 （iii）因为是的公因式当且仅当是的公因式，所以两个多项式系的最大公因式一样. 多项式的最大公因式与矩阵的初等变换有某种联系，可以把多项式分离系数而矩阵化，通过对矩阵施行某些变换来求多项式的最大公因式. 定义1 设 是数域上行列矩阵，令 称多项式系为由矩阵所决定的多项式系，称由矩阵所决定的多项式系的最大公因式为矩阵的最大公因式. 定义2 称下面的四类变换为准初等变换 Ⅰ 矩阵的行初等变换; Ⅱ 如果矩阵的某一行元素全为零，那么删去这一行; Ⅲ 如果矩阵的第一列元素全为零，那么删去第一列; Ⅳ 如果矩阵的最后一列元素不全为零，那么将该矩阵的形如的行变为. 定理1 准初等变换不改变矩阵的最大公因式. 为了求常数项不全为零的多项式系的最大公因式，可以很容易地找到一个行的矩阵,使得所决定的多项式系恰好是.这样的不是唯一确定的（但是进一步要求的第一列元素不全为零时，是唯一的），然后经过一系列准初等变换把化为形状很