矩阵的等价标准型定理.doc

矩阵的等价标准型定理 王耀伟 学摘要：本文阐述并论证矩阵的等价标准型定理,具体探讨这个定理的应用,比如在矩阵的秩的定义方面,在矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积的证明中,在线性方程组的求解中,在向量的线性相关、线性无关性的判断中等等. 关键字：矩阵、等价标准型定理、应用 引言：文章的目的在于证明等价标准型定理，简单介绍其在矩阵方面、在线性方程组方面、以及在向量的线性相关的判断中的应用。 等价标准型定理及其证明 对任意m×n矩阵A，用一系列的m阶初等方阵P1，P2，…，Ps 左乘A，以及一系列初等方阵Q1，Q2…Qs右乘A，将A化成，其中r=rank A.存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q使PAQ具有上述形式。 证明：先证明定理“任意的mn矩阵A都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为”。如果A=O，则A已经是所需的形状。设A=（aij)m×n ≠O.其中必有某个元aij ≠0,当k≠1时将A的第一行与第k行互换，可以将非零元akl换到第一行；如果l≠1；再将第一列和第l列互换，将非零元换到第（1,1）位置。经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=（aij)m×n化为B=（bij)m×n,使b11≠0.对2≤i≤m,2≤j≤n,将B=（bij)m×n的第一行的-bi1b-111倍加到第i行，第一列的-b1jb-111倍加到第j列，可以将B中第二至m行的第一列元化为0，第二至n列的第一行元化为0.再将第一行乘b-111可以将第（1,1）元化为1.这样就将B化成了如下形式的矩阵C=。其中A1是（m-1)×(n-1)矩阵。如果A1=0，则C已经是所需形状。 设A1≠0，重复以上步骤，对A1作初等行变换和初等咧变换可以将A1化为的形状。其中A2是（m-2)×(n-2）矩阵。这也就是对C的第二至m行作初等行变换，对C的第二至第n列作初等列变换，将C进一步化为重复这个过程，最后可以得到形如的矩阵。这个矩阵的r个非零行线性无关，组成行向量集合的极大线性无关组，因此秩为r。 根据上述定理，A可以通过有限次初等行变换和有限次初等列变换化为所说形状。而每次初等行变换可以通过左乘某个初等方阵来实现，每次初等列变换可以通过右乘某个初等方阵来实现。因此A可以左乘有限个初等方阵P1，P2，…，Ps和右乘有限个初等方阵Q1，Q2…Qs化为所说形状：Ps…P2P1AQ1Q2…Qs=令P=Ps…P2P1，Q=Q1Q2…Qs，则PAQ＝。P,Q都是初等方阵的乘积，初等方阵都是可逆方阵，而可逆方阵的乘积仍是可逆方阵，因此P，Q是可逆方阵。 矩阵的等价标准形的一些应用 1.矩阵的秩：设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在macute;n矩阵A中，任意决定k行和k列 (1pound;kpound;min{m,n}) 交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA)，或rank A。 特别规定零矩阵的秩为零。 n，则有无穷多解，并且在一般解中有n-r(A)个自由未知元。 用矩阵等价标准型定理解线性方程组 设齐次线性方程组Am*nX=0, Q2的列向量组是Am*nX=0的一个基础解系。 设非齐次线性方程组Am*nX=B那么 判断向量的线性相关和线性无关 定义：对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 ,使得 那么,称向量组 线性相关.如果这样的 个数不存在,即上述向量等式仅当 时才能成立,就称向量组 线性无关. 含零向量的向量组 一定线性相关,因为 其中, 不全为零. 只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 ,线性相关的充分必要条件是 . 考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见,向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组(*)有非零解.也就是说,向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(*)只有零解. →→→，则α1，，α2线性无关，α1，，α3也为线性无关，α1，，α4同样为线性无关。 其实我们通过矩阵的等价标准型定理找出矩阵的秩，这样就可以知道这些向量是线性相关还是无关。 矩阵等价标准型定理的推论 推论1、如果A是可逆方阵，则A可以表示为若干个初等方阵的乘积。 证明：由于A可逆，rank A=n,等价标准型定理所说的矩阵只能是n阶单位方阵I(n)，由定理，A可以左乘一系列初等方阵P1，P2，…，Ps，右乘一系列初等方阵Q1，Q2…Qs，化为I(n)，Ps…P2P1AQ1Q2…Qs