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裂项拆分证明数列不等式 福建省晋江市侨声中学张润泽 邮编362271 对于与前项和相关的数列不等式，我们往往采用对通项公式进行放缩的方法证明，但放缩时的尺度把握是比较困难的，有时放得过大，有时又缩得太小，这就需要我们不断对目标式进行研究再进行相应的调整放缩尺度，因此，这种题目常让我们绞尽脑汁，本文介绍一种从求证的目标式出发，先通过裂项拆分将前项问题转化为通项问题，再用分析法寻找解题思路，下面略举数例进行说明。 例1 等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求的值；（2）当时，记（），证明：对任意，成立。(2009年山东卷) 解：（1）由已知可求得 （2）时，， 所求证不等式可化为（*） 分析1 裂项拆分法 因为（*）左边是个式子的积，因此将右边拆分为 要证原不等式成立，只需证明 即证，亦即（**） 显然（**）式成立，故原不等式成立。 分析2 利用单调性 设，原不等式可转化为求最小值问题 通过数列单调性寻找值最小的项 因为 所以 又，所以 即数列是一个递增数列， 故 分析3 构造对偶式 设 因为 所以 即， 故 例2 求证： 证明：先对进行裂项拆分，得 于是要证明原不等式，只需证（*） 设函数 则 所以在为减函数，即 故当时，有，即成立 设函数 则 所以在为增函数，即 故当时，有， 即成立 所以（*）式成立，故原不等式成立。 注 本题先裂项拆分，将中间不等式转化为项，则原不等式的证明转化为（*）式的证明，再构造函数证明。对于常数又如何裂项拆分呢？请看下面式子： 当时，若则 若则 如将3近似拆分为首项，公比都是的等比数列的前项和，则 ，得 下面通过几个例题说明其应用： 例3、已知数列满足，求证： 分析 如要将近似拆分为首项，公比都是的等比数列的前项和， 则，得 欲求证原不等式，只需证 即证 显然成立。 综上，知原不等式成立。 例4 已知，数列， 是数列的前项和， 分析 如要将3近似拆分为首项，公比都是的等比数列的前项和， 则，得 欲证，只需证 所以 又当， 当时，成立 综上，知，恒成立 故成立 例5 已知函数，常数，数列满足满足， （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 分析 （1）时，，， 即． 数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得． （2）原不等式可化为 如要把近似拆分为以为底的项，则，得 欲证原不等式，只需证 即只要证， ， ， （*） 因为， 所以（*）成立，原不等式成立。 发表于《数理天地》2011年第12期 6