第十章格和布尔代数.doc

PAGE 18PAGE 126第十章 格和布尔代数习题10.11．下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格?⑴ L=｛1,2,3,4,5｝；⑵ L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝；⑶ L=｛1,2,22,…,2n｝；⑷ L=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝。解 ⑴不是，因为L中的元素对{2,3}没有最小上界；⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a,b，都有最小上界和最大下界；⑶是，与⑵同理； ⑷不是，因为L中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。2．试证明在格中若a≤b≤c,则⑴a∨b=b∧c；⑵(a∧b)∨(b∧c)=(a∨b)∧(b∨c)。证明 ⑴因为，a≤b,所以，a∨b=b；又因为，b≤c,所以，b∧c=b。故a∨b=b∧c；⑵因为，a≤b≤c,所以，a∧b=a,b∧c=b,而a∨b=b，因此，(a∧b)∨(b∧c)=b；又a∨b=b,b∨c=c,而b∧c=b, 因此，(a∨b)∧(b∨c)=b。即(a∧b)∨(b∧c)=(a∨b)∧(b∨c)。习题10.21. 设L,≤是一个格，其哈斯图如图1，L的如下三个子集那个能构成子格？；；。解 由图1知：＜S1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e∨f=gS1;＜S2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e∧f=cS2;＜S3,≤＞是＜L,≤＞的子格.2 至少给出8个S24的子格，使其每个子格至少包含5个元素。解 S24的包含5个元素的子格有如下的8个：S1={1,3,6,12,24}, S2={1,2,6,12,24}, S3={1,2,4,12,24}, S4={1,2,4,8,24},S5={1,2,3,6,12}, S6={1,2,4,6,12}, S7={2,4,6,12,24}, S7={2,4,8,12,24}.3. 设L，∨,∧是格，试证明它的线序子集是它的子格。证明 因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是L，∨,∧的子集，即是L，∨,∧的子代数，故是子格。aabdcfeg28244. 设L，≤是一个格，证明：对于任意的a,b,c,d∈L,若有，，则有 a∧b≤c∧d。证明 由(10-4)有，a∧b≤a,由已知a≤c,由偏序关系的传递性有，a∧b≤c；同理 a∧b≤d。由(10-5)和以上两式有，a∧b≤c∧d.5．设L，≤是一个格，证明：对于任意的a,b,c,d∈L,则有(a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c)∧(b∨d)。证明 因为由(10-4)有，a∧b≤a，因此，(a∧b)∨(c∧d)≤a∨(c∧d) ①由分配不等式有，a∨(c∧d)≤(a∨c)∧(a∨d) ②再由由(10-4)有，(a∨c)∧(a∨d) ≤a∨c ③由偏序关系的传递性和①②③则有，(a∧b)∨(c∧d)≤a∨c 同理 (a∧b)∨(c∧d)≤b∨d因此有， (a∧b)∨(c∧d)≤(a∨c) ∧(b∨d)。习题10.31 设L,≤是一个格，其中L={1,2,3,4,6,8,12,24},≤是整除关系。⑴格L,≤是否是有界格，若是请指出其全下界和全上界；⑵若L,≤是有界格，则1，3，4，6，8是否都有补元，若有请给出。解 ⑴ 是，全上界是24，全下界是1；⑵1的补元是24；3的补元是8；8的补元是3，4、6没有补元。2 试举例说明并非每一有补格都是分配格；并非每一分配格都是有补格。解 图3是两个格的哈斯图，其中图⑴是有补格但不是分配格的例子；图⑵是分配格但不是有补格的例子。11abc⑴0⑵1abc0图33. 设L,≤是一个格，试证明：L,≤是分配格的充分必要条件是，对于任何的a,b,c∈L都有(a∨b)∧c≤a∨(b∧c)。证明 先证充分性。由已知条件知，对于任何的a,b,c∈L,有(a∨b)∧c≤a∨(b∧c)，因此和等幂律、交换律可得，(a∨b)∧c=((b∨a)∧c)∧c≤(b∨(a∧c))∧c=((a∧c)∨b)∧c≤(a∧c)∨(b∧c) ①又因为，(a∧c)≤(a∨b)∧c且(b∧c)≤(a∨b)∧c，所以， (a∧c)∨(b∧c)≤(a∨b)∧c ②由①②可得， (a∧c)∨(b∧c)=(a∨b)∧c再由交换律得到， c∧(a∨b)=(c∧a)