拟阵与概念格的关系v-数学进展.pdfVIP

第35卷第3期 数 学 进 展 Vbl．35．No．3 INMATHEMATICS June．2006 200睥6月 ADVANCES 拟阵与概念格的关系 毛华 (1．河北大学数学与计算机学院，保定，河北，071002；2．郑州大学数学系，郑州，河南，450052) 摘要：本文以构造的方式建立起拟阵与概念格的联系，得到在同构意义下每个拟阵是一个概念 格，但反之不然的结论；该结论使得利用概念格的性质研究拟阵成为现实，特别为将建造概念格的算 法尤其是已计算机化的算法应用于求取拟阵奠定了基础，也为拟阵论成为研究概念格性质的辅助工 具打下基础． 关键词：拟阵；概念格；概念集；格 MR(2002)主题分类：05835／中图分类号：0157．3；0153．1；N945 文献标识码：A 文章编号：1000．0917(2006)03．036l-05 1引言和预备 由R．wille于1982年首先提出的概念格(conceptlattice)，其每个节点是—个形式概念， 由对象和属性两部分组成；它提供了一种支持数据分析的有效工具，导出了对象的相近分类及同 属性之间的包含关系；另外，它通过Hasse示图生动且简洁地体现出这些概念之间的泛化和特 征关系． 拟阵理论的发展已有近60年的历史，是组合数学的一个重要分支．本文就是利用格论作为 桥梁，以构造方式建立并讨论拟阵与概念格之间的一些关系，为使概念格的成果运用于拟阵论研 究中成为现实，也为拟阵论成为研究概念格的一个辅助工具奠定基础． 在讨论主要内容之前，有以下几点需说明，同时介绍本文的几个记号． 说明1 (I)文中形式背景、概念、概念格的定义见【1，21；概念格与完备格关系定理见[2， p．231】． (II)由[3，4】可得：拟阵的定义；拟阵的独立集、基、秩、闭集以及拟阵同构和简单拟阵的 定义；此外还有拟阵直和的定义及拟阵的基公理． 简单拟阵与有限几何格关系定理见[3，p．54，Theorem2]． 5]；格的直积定义于[1，p．30】；有限格的Hasse示图定义见(2，p．13；3，5]I (Ⅳ)本文将一个形式背景上全体概念之集合简称为概念集． (V)根据简单拟阵与有限几何格关系定理，本文的讨论均为有限且讨论的拟阵为简单拟阵． 几个记号 混淆，故将∞(M(E))，垦)所成的几何格(见[3，p．48—50】)仍简记为三(M(E))． 2004-12一08． 收稿日期： 2003一06一04．修改稿收到日期： 基金项目：国家自然科学基金(No．河北大学省部共建项目(No．Y2005047) Bmail：yushengmao@263net 万方数据 362 数 学 进 展 义在易。@∈T)上的例个拟阵，可分别记为尬(易。)@∈T)． 若一族拟阵地(鼠。)(￡∈T)的直和存在，则记其直和为∑。∈T尬(既。)． 为得到主要结果，下面做一些准备工作． 定义1 (1)设(G1，M，^)，(G2，％，j12)为两个形式背景． 4(Gl，肌，厶)与4(G2，％，屯)同构，记为A(G1，阢，^)笺4(G2，％，如)． 在A1∈G1，B1∈M上的限制， (毗，6i)∈厶)，(i=1，2)． 引理1 设(G1，肌，jrl)，(G2，％，屯)为两个形式背景． (1)若4(G1，肌，五)竺4(G2，％，屯)，．厂，9分别为定义1(i)中所示，则 A(G2，％，厶)． (ii)召(Gl，肌，五)望B(G2，％，屯)，反之不然． (iii)^竺屯，反之不然． 均为双射．若，，9为双射，则A(G1，肌，^)型4(G2，％，屯)． 证明 (1)(i)显然． (ii)易证B(G1，啊，五)型届(G2，wj，j12)．下面说明“反之不然”部分． 令G1={夕1】．，矾={叫1，伽2)，