正交基的求法.PPT

正交基的求法 1)定理: 欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组正交基. * 2) 施密特(Schmidt)正交化过程 (2.1) 正交化: ii) 取 * 3)一些结果: i) 由 Schmidt 正交化过程确定的标准正交基到原基 的过渡矩阵为上三角阵. ii) 可逆矩阵可分解为正交矩阵和上三角阵的乘积. iii)标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵, 而由标准正交基和一个正交矩阵作为过渡矩阵所确定的基是标准正交基. v) 正交矩阵之积是正交矩阵. * 欧氏空间的同构 1)定义: 称R上欧氏空间V 与 V 为同构的，系指由 V 到 V 有一个1-1 映上的映射 ?, 适合 i) 线性 ?(? +?) =?(?)+?(?), ?? , ? ?V ?(k?) = k?(?), ?k ?R ii)保持内积: (?(?), ?(?))=(?, ?) 则称 ?为 V到 V 的同构映射. 2)性质: ii) 两个有限维欧氏空间同构, 当且仅当它们维数相同. * 正交变换 1)定义: 欧氏空间 V上的线性变换 A 称为正交变换,系指它保持 V 的向量内积不变, 即 ?? , ? ?V 有 (A?, A?)= (? , ? ). 2) 性质: (2.1) 正交变换A 是 V到 AV 的一个同构. (2.2) A是正交变换 ? ?? ?V ,|A?| = |?|, ? A 将标准正交基变为标准正交基. ? A 在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩 阵. * (2.3) 正交变换的逆是正交变换 . (2.4) 正交变换的乘积是正交变换. (2.5) 正交矩阵的乘积, 正交矩阵的逆也是正交矩阵. * 正交子空间 2) 性质: * 对称变换 (1.1)?(A)? R. * (1.4) A的属于不同特征值的特征子空间正交. (1.6)任意二次型: 都可以经过正交替换变成平方和 * 2)对称变换定义: 欧氏空间中满足 (A?, ?)= (?, A?), ??, ? ?V 的线性变换 A 称为对称变换. * * * * 第四章 二次型与二次曲面 * * * * * * 4 二次曲面的种类(注意：共有17种) 一般形式: 令: 则二次曲面的一般形式可记为: * 定义 引理 则原方程化为: * 1) 不含一次项: 椭球面 虚椭球面 原点 单叶双曲面 双叶双曲面 二次锥面 椭圆柱面 虚椭圆柱面 直线 * 2) 含有一次项(抛物面): 椭圆抛物面: 双曲抛物面: 抛物柱面: * * 线性代数与几何（下） 第五章 双线性函数 可以视为内积函数的扩展 * * 线性代数与几何（下） 关于期末考试 考试时间和地点： 时间: 2017年1月4日(星期三) 下午，具体时间待定 地点: 待定 答疑时间和地点： 1月2日上午 8：00－11：00 力学楼327办公室 考试内容： 本学期课堂讲授的内容, * * 线性代数与几何（下） 难度 按学校要求, 有相应的优秀率与不及格率。 考试纪律: 1)考试时携带学生证, 以备教务部门随时查询; 2)监考教师有权指定任何参加考试同学的坐位, 请同学们严格按指定位置就坐; 3)只携带考试用的笔及涂改工具, 其它均视为与考试无关的东西, 不得带入考场坐位, 否则视为作弊; * * 线性代数与几何（下） 4)考前请同学们做好准备, 交卷前不得以任何理由离开考场; 5)因故不能参加考试的同学, 必须提前履行书面申请, 并经我院王建祥副院长批准, 对未经批准而未参加考试的同学, 按旷考论处; 6)根据学校有关规定, 在考试成绩确定之前, 不得以任何方式影响教师批改试卷(如找家长、辅导员、熟人说情，或给老师打电话，发邮件等); 否则均视为考试作弊。成绩出来后可到系里直接查询。 * * 线性代数与几何（下） * 第二十一次课 高等代数总结 第一章 多项式 最大公因式, 带余除法; 因式分解, 不同数域; 重因式; 多项式函数; * * 第二章 多项式矩阵 多项式矩阵概念, 初等变换; 等价标准形, 不变因子, 行列式因子; 初等因子; 矩阵相似条件与相似标准形; * 第三章 欧氏空间 定义及性质 设V是 R上的线性空间, 在 V上定义了一个二元实函数, (· , ·):V?V ? R, 它具有如下性质: 1)对称性: (? , ?) = (?, ?), ?? , ? ?V; 2)双线性: (? +?, ?)=(? , ?)+(?, ?), ?? ,?, ? ?V , (k?