一轮复习 平面向量的数量积及平面.ppt

课时作业 点击进入链接 课时作业 点击进入链接 * * * * 平面向量的数量积及平面 向量应用举例 考纲点击 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 热点提示 1.平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变. 2.可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点. 1．平面向量的数量积 定义 a·b＝ 规定：0·a＝ 坐标表示 a·b＝ 运算律 (1)a·b＝b·a (λa)·b＝ ＝ (a＋b)·c＝ a在b方向上 的投影 b在a方向上 的投影 a·b的几 何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与 的投影 的乘积 |a|b|cos θ 0 x1x2＋y1y2 λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c |a|cos θ |b|cos θ b在a方向上 |b|cos θ 2.与平面向量的数量积有关的结论 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 3.向量方法解决几何问题的步骤 (1)建立几何与 的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为 问题； (2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题； (3)把运算结果“翻译”成 ． 向量 向量 向量 向量的运算 几何关系 1．下列四个命题中，真命题的个数是(　　) ①若a·b＝0，则a⊥b； ②若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c； ③(a·b)·c＝a·(b·c)； ④(a·b)2＝a2·b2. A．4　　　 　　B．2 C．0 D．3 【解析】　①当a·b＝0时，a⊥b或a＝0或b＝0.故①命题错． ②∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0， 又∵b≠0，∴a＝c或b⊥(a－c)， 故②命题错误． ③∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量， ∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等． 故③命题不正确． ④∵(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2 θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2， 故④命题不正确 【答案】　C 2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于(　　) A．(26，－78) B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【解析】　a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)． 【答案】　A 3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为(　　) 【答案】　C 4．若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________. 5．已知|a|＝1，|b|＝ ，且a⊥(a－b)，则向量a与b的夹角是________． 【解析】　∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0， 即a2－a·b＝0，∴a·b＝1. 设a与b的夹角为θ，则 (1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)|a＋b|. 【思路点拨】　利用平面向量数量积的定义及运算律．可求出第(1)问；求|a＋b|可先求(a＋b)2，再开方． 【方法点评】　1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝|a||b|cos θ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； 已知向量a＝(cos (－θ)，sin(－θ) )， (1)求证：a⊥b； (2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时的 最小值． 【思路点拨】　(1)可通过求a·b＝0证明a⊥b. (2)由x⊥y得x·y＝0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出