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力学 ? 万有引力 * 力学 ? 万有引力 第4章 万有引力 一、行星运动的描述 火星的退行 地心说对行星退行的解释 宇宙的地心体系 从地心系和日心系看内行星 从地心系和日心系看外行星 二、开普勒的行星运动三定律 (1) 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆的一个焦点上。这称轨道定律。 (2) 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相同。这称为面积定律。 (3) 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨道的半长轴的立方成正比，即 ，T是行星运动的周期；r是椭圆轨道的半长轴。这称为周期定律。 根据行星运动的这三条定律，牛顿得出了万有引力定律。 三、万有引力定律及其建立 具有质量m1和m2且相隔距离 r 的任意两个质点之间的力是沿着连接两质点的直线而作用的吸引力，其大小为： 式中G是对所有的质点对都具有相同数值的普适常数。 这就是牛顿的万有引力定律。 在牛顿之前，已有物体之间存在引力的观念，也有太阳的引力决定行星运动的观念。但是怎样定量地描写引力？太阳引力如何决定行星的运动？等等，都是不清楚的。 牛顿首先把他的动力学基本方程作为力的定义，来研究导致开普勒三定律的力应是怎样的。 为了简便，把行星轨道看作圆形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度 ，其中? 是行星的速率，r是圆轨道的半径。 根据开普勒第三定律 ，又 ，故 代入 ，得 ，或 其中m是行星的质量。取比例系数为?，则得 显然 ? 应取决于太阳的性质。由此牛顿得到第一个重要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和 r 的平方成反比。 进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万有引力。这一步是关键性的。 “这使牛顿想到：两种力可能有着相同的起源。这一事实，距今已有几百年了，这在今天已经成为老生常谈了，以致我们很难想象出当时牛顿的魄力与胆识。为了把行星绕太阳或月亮绕地球的运动，想象为一个‘降落’过程，就像石头从手中扔出去后的降落一样，遵从着相同的规律和在相同的力的作用下，这需要多么惊心的想象力啊！” ——玻恩(M. Born, 1882～1970) 地球拉住人的力与地球拉住月球的力属同一种力，它们都与距离的平方成反比。苹果从树上自由下落，在第一秒钟内落下4.9米。那么在同样的时间内月球落下多远？由于月球没有靠近地球，月球落向地球了吗？ 如果没有力作用在月球上，按惯性定律，月球将沿直线离去，可是，月球沿一圆周运动，它偏离了直线落向地球了。 现在讨论一秒钟内月球落向地球的距离。 r ? 3.84?105km，x ? 1.02?103m， 所以，y ? 1.36?10-3m，即 1/20 吋。 既然引力是普适的，那么地球和月球之间也应当存在这类力。地球对月球的引力可以写为 反过来，月球对地球的引力为 其中 和 是分别和地球及月球有关的常数。 根据牛顿第三定律， 与 大小相等，即 因此，其解为 这样，前面两式可以统一为 这就是牛顿的万有引力定律。 四、万有引力常数G 为了确定万有引力常数G的数值，要测量两个已知质量的物体之间的引力。1798年卡文迪许作了第一个精确的测量，用的是扭秤法。后人又用多种方法(包括天平法、扭秤周期法、扭秤共振法等)进行过测量。二百多年来，测量的结果在 到 之间，必威体育精装版的结果是 五、引力的几何性(惯性质量与引力质量 ) 为什么只考虑地球对月球的作用，就能得到非常正确的结果呢？原因在于太阳对月球的作用效果与太阳对地球的作用效果是完全一样的。 “作用效果完全一样”，用数学语言来说，就是在方程 中， 相等；其中 分别是月球和地球的质量与速度， 是太阳的质量，r 是地球到太阳的距离。 应当注意，两方程中等式两边质量的物理含义并不相同。 左边反映物体惯性的大小，所以称为惯性质量。 右边反映物体之间引力的大小，所以称为引力质量。 为了清楚起见，把前式改写为 要求 ，等价于 这就是我们处理地月相互关系时可以忽略太阳作用的根据。 把上述的论证推广，得到对任何物体