三角函数、三角变换、解三角形学生版.doc

三角变换、三角函数、解三角形 编审：高超 刘宗伟 2014.11.6 主要考点 （一）.三角变换公式（掌握其形成的过程，结构特征及作用） （1）同角公式 作用 （2）诱导公式： 简记： 作用：变角 （3）和、差角公式： ①: 特征：先正余积后余正积中间符号成正比 ②： 特征：先余积后正积中间符号成反比 ③： 特征： 作用（会正用，逆用，变形用） （4）倍角公式 ① ② ③ 作用 注：1. 2.三角变换就是统一角（变角），统一名（变名），统一（变）结构的过程。 （二）.三角函数的图像与性质 1.的图像与性质 2. ①画法：五点作图法 ②单调性、周期性、最值（注意角的范围，数形结合法）、对称中心、对称轴的求法 其中奇偶性：当 当 ③图像变换：→ 注意：ⅰ：变换前后函数解析式必须为同名的“三个一结构” ⅱ：逆向思维 ⅲ： ④由局部图像求解析式（关键是确定,其中由图像中的某个关键点求） 3.正弦定理、余弦定理 （1）正弦定理： （2）余弦定理 作用： 注：可解的三角形满足的条件 ① ②斜三角形 （3） 二：三角部分高考常考题型及解法 题型一：三角求值问题 类型1：无条件求值 解法：通过三角变换使待求式出现 例：求下列各式的值 类型2：条件求值 型（Ⅰ）已知一个或两角的三角函数值，求另一相关角的三角函数值 解法：先找到待求式中相关角与该角的关系（和，差，倍半，补，余关系），再选用相应三角变换公式求解 例：（2011辽宁）设sin，则 (A) (B) (C) (D) （2011浙江）若，，，，则 （A） （B） （C） （D） 练习1：已知= 2:已知 型（Ⅱ）已知三角函数值或式子的值，求另一三角函数式的值 解法： 例1.（1）已知 （2）（2011新课标） （3）（2011重庆）已知，且，则的值为_______ （4）（2011江苏）已知 则的值为__________ 例2.（1）（2008山东）已知，则的值是 （A）-　　　　（B） (C)- (D) (2)(2007新课标)，则 （3）（2011天津）已知函数，的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设，若求的大小． 型二：函数 解法：首先利用三角变换（变角、变名）将 进而化成（，再求解 例1.（2008山东）已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 例2.（2010山东） 已知函数，其图像过点。 （Ⅰ） 求的值； (Ⅱ) 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。 例3.若函数 （1）求 拓展：已知， 若 求：的单调递减区间 练习：（2011北京）已知函数。 （Ⅰ）求的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 型三（一） 类型1：已知两角或其三角函数值大小，求第三角的三角函数值 解法：利用同角公式求出两角的另一弦函数值，再由内角和定理、诱导公式、和差公式求第三角三角函数值。 类型2：利用正余弦定理，解决实际问题 解法：（1）画出正确示意图 （2）标出已知，待求量，并构造可解三角形 （3）利用正余弦定理逐次求解三角形 （4）回归 例1.（2010陕西） 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 例2. （）海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里? 类型3：利用利用正余弦定理及面积公式，边角面积的 （涉及到边与角） 解法：据已知及待求，选择正（余弦）定理进行边角转化，再选择三角变换公式进行三角变换 例1（2011山东） 在中，内角的对边分别为，已知， （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积S。 类型4：的定形问题 解法：利用正余弦定理将边角关系转化 型四：三角函数的图像、性质与的综合 例1（1）（2010重庆）设函数。 求的值域； 记的内