三角函数竞赛辅导.doc

第一讲：三角恒等关系 一、引入： 三角恒等式的变形方法和技巧，包括三角恒等式的证明，条件恒等式的证明、化简、求值问题等. （一）、解题中关注的三大变化，这是打开解决问题之门的钥匙： ⑴角的变化；⑵结构的变化；⑶三角函数名称的变化. （二）、引例：求证： 分析：从“角”看：出现四种角：， 一种比较好的联系方式是：，形式比较对称； 从“结构”看：通分应该是明智的选择； 从“名称”看为正弦、余弦形式，比较基本，证明方法可以综合法或分析法 证明： （三）、复习各种三角恒等关系式： 1、同角三角函数间的基本关系： ⑴ 倒数关系： ①；②；③ ⑵ 商数关系： ①；② ⑶ 平方关系： ①；②；③ ⑷ “”,“”“”的关系 ① ； ② ③ 2、诱导公式：关系： ①； ②； ③ 3、两角和与差的三角函数： ①； ② ③ 4、“和角公式”的派生公式 ①； ② ③ 5、辅助角公式： 其中；且由所在的象限确定. 注: 辅助角公式主要解决一次齐次式的相关问题. 6、二倍角公式 ① ； ②= ； ③ 7、降次公式 ①；②；③ 8、升次公式 ①；② 注：降次公式与升次公式都是从倍角公式推导出来的，在三角函数的求值、化简、证明方面有着很广泛的应用. 9、切割化弦公式 （1）同角公式：① ； ②；③；④ （2）变角公式： ①；② 10、半角公式: ① ；② , ③ 11、和差化积公式: ① sinα+sinβ=2sincos；② sinα-sinβ=2 cossin, ③ cosα+cosβ=2coscos；④ cosα-cosβ= -2sinsin, 12、积差化和公式： ① sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]；② cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], ③ cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]；④ sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 13、 万能公式: ①；②；③ 14、三倍角公式： ①； ②； ③ 二、典型例题： 一、基本变形方法： 例1、求证： 分析：这是一个轮换对称恒等式，可以采用“各个击破”的方法试一试. 证明： 同理： 三式相加易证明. 例2、求值：. 分析：化为特殊角的三角函数值 解法1： . 解法2： 解法3： 评注：运用和角公式配凑，试问题回到基本公式上来. 例3、求证： 分析：从等式左右角的差异考虑入手，思路为从左边的角x化到右边的角4x也可倒过来处理. 证明： 以下来讨论一些条件不恒等式的证明，变形仍注重三个变化. 例4、已知求证：. 分析：条件中的角：；结论中的角： 做联系：得到统一“名称“与结构，条件为”整式”情形，结论为“分式”情形，这与“名称”转化为正切匹配.也可从A入手. 证明1： 证明2： 例5、已知 . 分析：观察条件，利用改写“1”，可将条件式子化为奇次式. 解析1： 可得： 解析2：利用柯西不等式解，考虑取等条件，找条件的等价式.(李昭奕提供) 例6、已知求证：. 分析：意图很明显，消去. 证明： 例7、已知求证： 分析：基本思路是消去x，y. 一般的对于条件，通常采用平方和求，若，则又可用和差化积公式求. 证明： 变题：（1998年新加坡）设A,B,C同时满足 求证：为定值.(高中数学联赛讲义P113-46题) 以下介绍几个三角恒等变形中的技巧运用： 二、技巧运用一----用好对偶式和配对原理. 例8、求值： （奥博P81） 评注：在此题基础上，注意利用诱导公式及积化和差公式产生的式子，体现其灵活性. 例9、求值： 分析：⑴利用配对原理解题; ⑵不断使用公式：来减少角. 例10、求值： 分析：本题使用配对原理 例11、求值： 分析：本题中配对式子与例6不同，也可用构造方法，实际运用中有时并不简单. 三、技巧运用二：裂项技巧： 例12、（第8届IMO试题）求证对每一个和每一个实数为任意整数）有：.（奥博P86） 分析：本题左边为n项和，右边为2项之差，故尝试左边“裂项”，希望消去多项，实现证明. 证明： 同理 …… 评注：“裂项相消法”运用广泛，在解题中具有普遍性，类似可证下列各题： 证明：⑴ ⑵ ⑶ （参考专题讲座-三角函数P5） 对于求和（求积）而言，能裂项相消再好不过，看看许多平凡的式子都具有裂项相消的功能，举例说明： 1、考虑递推形式的等式：sinαcosβk= [sin(βk+α)-sin(βk-α)], 出发点：积化和差公式：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]= [sin(β+α)-sin(β-α)] 探讨：将β看做一个关于n的