上传 正弦、余弦定理及解三角形(师用).docVIP

正弦余弦定理 知识点： 1、正弦定理 2、余弦定理 教学目标;:1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择． 正弦定理和余弦定理1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 复习 1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．　　 基础梳理 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)ab∶c＝sin Asin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3．SABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B. 两类问题 在解三角形时， 正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 1． 在ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)． A．5 B．10 C. D．5 ＝ 2．在ABC中，若＝，则B的值为(　　)． A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　由正弦定理知： ＝，sin B＝cos B，B＝45°. 答案　B 3． 在ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)． A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　由余弦定理得：cos A＝＝＝， 0＜A＜π，A＝60°. 答案　C 4．在ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则ABC的面积为(　　)． A．3 B．2 C．4 D. 解析　cos C＝，0＜C＜π， sin C＝， S△ABC＝absin C ＝×3×2×＝4. 答案　C 5．已知ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________． 解析　a2＋b2－c2＝－ab， cos C＝＝－， 故C＝150°为三角形的最大内角． 答案　150° 　　 【例1】在ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． 解　由正弦定理得＝，＝， sin A＝. a＞b，A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， c＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， c＝＝. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 【训练1】在ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________； a＝________. 解析　因为ABC中，tan A＝2，所以A是锐角， 且＝2，sin2A＋cos2A＝1， 联立解得sin A＝， 再由正弦定理得＝， 代入数据解得a＝2. 答案　　2 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高. 【】：【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A， 又， 即，，又0°A180°，所以A＝60°. 在△ABC中，由正弦定理得， 又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°， ∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝ . 3、在中，的对边分别是，已知