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* 4.5 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为A. 由y=f(x) 解得x=?(y)，若对任意y?A，在D中都有唯一确定的x值与它对应，则称x=?(y)为函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) . 在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示， 这样把y=f(x)的反函数改写为y=f -1(x) （x?A） . 一、反函数的概念 思考：y=f(x)，x=f -1(y)和y=f –1(x) 三者的区别是什么 ？ f D A A D f--1 值 域 定义域 原来函数的对应法则是f，反函数的对应法则是f -1。（一般情况下，对应法则是不同的） y= f —1(x) 1.函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域 2.函数 y= f(x)与y= f –1 (x)互为反函数 反函数的求法 反解：把解析式y=f(x)看作x的方程， 解出x=f–1(y)，即把x用y表示； 改写：将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)， 即对调x=f–1(y)中的x、y ； 互换：即求出所给函数的值域并把 它改换为反函数的定义域。 请同学们研究如下问题: (1) 如果一个函数是奇函数,是否一定存在反函数? (2) 如果一个函数是偶函数是否一定没有反函数? (3) 如果一个函数是单调函数,是否一定有反函数? (4) 如果一个函数不是单调函数,是否一定没有反函数? 怎样的函数有反函数？ 1.对于任意函数值y,在定义域中总有唯一确定的x值与它对应。 2.从图像上看，若直线 与 的图像相交，总有唯一的一个交点，则这个函数有反函数。 3.若函数 是单调函数，则这个函数有反函数。 5. 求函数 的反函数. 互为反函数的函数图象间的关系 例3：求下列函数的反函数，并在同一坐标系内画出该函数和它的反函数的图象 定理：函数y= f(x)的图象与它的反函数y= f –1(x)的图象是以直线y=x为对称轴的轴对称图形。 注意：函数y= f(x)与y= f –1(x)的图象关于直线y=x对称，而函数y= f(x)和函数x= f –1(y)图象是同一个图象。 推论：函数y= f(x)的图象上任意一点关于直线y=x的对称点，都在它的反函数y= f –1(x)的图象上。反之亦然。 思考：函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)的单调性有关系吗？ *
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