专题-高中函数值域的求法(讲义与练习)+.doc

专题 求函数值域的常用方法及值域的应用 三、值域的概念和常见函数的值域 - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法 - 1 - 4.1.直接法 - 1 - 4.2配方法 - 2 - 4.3换元法 - 3 - 4.4基本不等式法 - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法 - 6 - 4.6数形结合法 - 7 - 4.7函数的有界性法 - 9 - 4.8分离常数法 - 10 - 4.8 三角函数中的值域问题 - 11 - 五、高考真题汇编 - 12 - 三、值域的概念和常见函数的值域 1、定义：函数值y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域： 一次函数的值域为R. 二次函数，当时的值域为，当时的值域为.， 反比例函数的值域为. 指数函数的值域为. 对数函数的值域为R. 正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法 从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例：求函数，的值域。 例：求函数的值域。 例 求函数的值域。 解析：， 故 所求函数的值域为 。 练习 1、求函数的值域。 2、求函数的值域。 3、求函数的值域。 4、（2013重庆理）的最大值为( )A.9 B. C. D. 【答案】B或类的函数的值域问题，均可用配方法求解. 例1：求函数（）的值域。 解：， ∵，∴，∴ ∴，∴ ∴函数（）的值域为。 例2：求函数的值域： 解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为. 4.3换元法 利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数， 形如的函数，令； 形如的函数，令； 形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令. 例1.求下列一元二次函数的值域： 解析： 例 例：求函数的值域：. 解：设则.所以原函数可化为，所以.所以原函数的值域为. 练习 求函数的值域。 （2） 求函数的值域。 答案 （1）令（），则，∴ ∵当，即时，，无最小值。 ∴函数的值域为。 （2）令，则，（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 4.4基本不等式法 利用求某些函数值域（或最值）， 应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可. 例1 求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 例2 求函数的值域. 分析: 用基本不等式，关键是凑出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出项来, 可运用的方法是 待定系数法： 设: , 将左边展开是, 故而, . 解得, . 从而原函数; 换元法： 设，则原式化为 接下类怎么办？ 因为的符号不确定，因此需要分类讨论： ⅰ)当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当. ⅱ)当时, , , 此时有 , 等号成立, 当且仅当. 综上, 原函数的值域为: . 例：求函数的值域：. 解：，则原函数化为 ，当且仅当时，即时等号成立， ，所以元函数的值域为. ．（2012年上海春）函数的最大值是______..当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 例．求函数在区间上的值域。 分析与解答：，所以该函数在此区间上单调递增 于是：函数在区间上的值域为。 例： 求函数在内的值域. 分析:. 由得的极值点为. . . 所以, 函数的值域为. 例4. 求下列函数的最值： （1）已知函数－x＋3x＋x＋在区间－2，2上的最大值为，求它在该区间上的最小在[0，2]上的最大值和最小值. 解：＝－3x＋6x＋9．令0，解得－1或3（舍）， 因为－1－－2＝8＋12－18＋a2＋a，2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以2)f(－2－1．因此2)和－1分别是在区间－2，2上的最大值和最小于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． －1－＝－7， 即函数在区间－2，上的最小值为－7． 令 化简为 解得 又因为， 所以为函数在[0，2]上的最小值， 为函数在[0，2]上的最大值. 总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的关键是：严格按照利用