专题10 解三角形.doc

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号： 年 级： 辅导科目：数学 课时数： 课 题 解三角形 教学目的 教学内容 正弦定理和余弦定理 （一）高考目标 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考向预测 1．利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变形解决问题． 2．与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变形，这是高考的热点． 3．三种题型均有可能出现，属中低档题目． （二）课前自主预习 知识梳理 正弦定理和余弦定理 2.解三角形的类型 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： 3.解三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示. 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c. 在有解时只有一解 两边和夹角 (如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角． 在有解时只有一解 三边(a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C. 在有解时只有一解 两边和其中一边的对角 (如a，b，A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解，一解或无解 （三）基础自测 1．(2010·湖北理)在ΔABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　) A．－　　　　　　　B.C．－ D. [答案]　D [解析]　由正弦定理可得＝，sinB＝，又因为ba，所以BA，故B为锐角，cosB＝. 2(2009·福建文)已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75° B．60° C．45° D．30° [答案]　B [解析]　本小题主要考查三角形面积公式、三角函数等基础知识． ∵3＝×4×3sinC，sinC＝3．(2011·铜陵一中月考)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则ABC的面积为(　　) A. B. C. D. ∴C＝60°，故选B. []　A [解析]　因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac. 又b2＝a2＋c2－2accosB，a＋c＝3，tanB＝， 故得sinB＝，cosB＝，ac＝2. 所以SABC＝acsinB＝×2×＝. 4．(2010·湖南文)在ΔABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则(　　) Aa＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 [答案]　A [解析]　本题考查余弦定理的应用以及三角形边的大小的判定． 由题意得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab，又c＝a，2a2＝a2＋b2＋ab，a2－b2＝ab0，a2b2，ab. 5．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a＝________ [] [解析]　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos120°， 即6＝a2＋2－2a··a＝或a＝－2(舍去)．6．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形是________三角形． [答案]　等腰 [解析]　由sinC＝2cosAsinB，得sin(A＋B)＝2cosAsinB， 即sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0， 所以sin(A－B)＝0. 又因为－πA－Bπ，所以A－B＝0，即A＝B. 7．在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A及的值． []　∵a，b，c成等比数列， ∴b2＝ac，又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc. 在△ABC中，由余弦定理得 cosA＝＝，A＝60°， 在ABC中，由正弦定理得sinB＝. b2＝ac，A＝60°，＝＝sin60°＝. [例1]　在ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C和c. []　已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况．或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A 解析]