专题三三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲三角变换与解三角形.doc

第二讲　三角变换与解三角形 1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. 3． 三角恒等变换的基本思路 (1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5． 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 6． 面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 7． 三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π. (2)ABCabc?sin Asin Bsin C. (3)a＝bcos C＋ccos B. 1． (2013·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝. 用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－.故选C. 2． (2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由条件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝， 由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝， ∴sin(A＋C)＝，从而sin B＝， 又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. 3． (2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　B 解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0Aπ，得A＝，所以△ABC为直角三角形． 4． (2012·广东)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC等于(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　B 解析　利用正弦定理解三角形． 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝2. 5． (2013·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________. 答案　 解析　由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a， 则a＝，c＝2a－b＝ cos C＝＝－，又0Cπ，因此角C＝. 题型一　三角恒等变换 例1　(1)若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　) A. B. C. D. (2)已知α，β ∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________. 审题破题　(1)利用同角三角函数关系式先求sin α或cos α，再求tan α；(2)注意角之间的关系＝(α＋β)－. 答案　(1)D　(2)－ 解析　(1)∵α∈，且sin2α＋cos 2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝，∴cos α＝或－(舍去)， ∴α＝，∴tan α＝. (2)因为α，β∈，所以α＋β＝，所以cos(α＋β)0.易得cos(α＋β)＝. 又β－，所以cos0， 易得cos＝－. 故cos＝cos[(α＋β)－(β－)] ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝×＋×＝－. 反思归纳　(1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等． (2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(