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余弦定理(上课用)
* * 1.1.2余弦定理 复习回顾 b a C A B 1.正弦定理 2.正弦定理的作用 (1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和另一角; (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角). 若已知三角形两边及其夹角,如何求出第三条边呢? 证明: (一)向量法 若 ABC为任意三角形,已知角C,BC=a,CA=b,求证: b c A B C a 证明 注:当C=90o时,此结论即为勾股定理. b A a c C B 证明:以CB所在的直线为x轴,过C点垂直于CB的直线为y轴,建立如图所示的坐标系,则A、B、C三点的坐标分别为: x y (二)解析法(建系法) 证明 A B C a b c D 当角C为锐角时 (三)几何法 b A a c C B D 当角C为钝角时 C B A a b c 余弦定理作为勾股定理的推广,考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 证明 余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 你能用文字说明吗? C B A a b c 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 归纳 问题1:勾股定理与余弦定理有何关系? 勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 问题2:公式的结构特征怎样? (1)轮换对称,简洁优美; 剖 析 定 理 (2)每个等式中有同一个三角形中的四个元素,知三求一.(方程思想) 剖析 (3)延伸变形: 注意:余弦定理适用任何三角形. 剖 析 定 理 推论: 剖 析 定 理 (4)能否把式子 转化为角的关系式? 分析: 剖析 余弦定理的作用: (1)已知三边,求三个角; (3)判断三角形的形状。 (2)已知两边和它们的夹角,求 第三边和其它两角; 例1 、在 中,已知 求c,A 例2、在 中,已知 求此三角形各个角的大小及其面积 例3、 的顶点为A(6,5),B(-2,8)和C(4,1),求cosA * *
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