余弦定理(第2课时).ppt

第2课时 　余弦定理 1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则 a2＝ ， b2＝ ， c2＝ . 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是 须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．∠A为钝角? ，∠A为直角? ，∠A为锐角? . 2．余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求 ； (2)已知两边和它们的夹角，求 ． 1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是 (　　) A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 解析：因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－820， ∴AC边所对角B为钝角，故选C. 答案：C 3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________. 4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于________． 解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab. 又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC. ∴－2cosC＝1，∴cosC＝－ ，∴C＝120°. 答案：120° [例1]　在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ，C＝15°，求角A、B和边c的值． [分析]　由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值． [点评]　本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论． [例2]　在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值． [分析]　本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值． 迁移变式2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC. [例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC； ②确定三角形的形状． 解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状． 则条件转化为4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B ＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC， 又sinB·sinC≠0， ∴sinB·sinC＝cosB·cosC， 即cos(B＋C)＝0. 又0°B＋C180°， ∴B＋C＝90°， ∴A＝90°，故△ABC为直角三角形． [点评]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状． 迁移变式3　在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． 解：由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc， 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA， 又∵sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC且 sinA＝2sinBcosC， ∴sinBcosC＝cosBsinC， 即sin(B－C)＝0，∴B＝C， 又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°. 故△ABC为等边三角形． [例4]　在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝ ，求b. [点评]　(1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c，再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结合求得结果． (2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注意以下关系式的运用： 迁移变式4　在△ABC中，已知ABC，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a、c的长． 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角． 请注意：(1)余弦定理揭示了任意