余弦定理习题及练习.ppt

第2课时 　余弦定理 在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形　　　　B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 解析因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－820， ∴AC边所对角B为钝角，故选C. 答案：C 3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________. 4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于_120_______． 解析∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab. 又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC. ∴－2cosC＝1，∴cosC＝－ ， ∴C＝120°. [例1]　在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ，C＝15°，求角A、B和边c的值． [分析]　由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值． [例2]　在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值． [分析]　本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值． 迁移变式2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC. [例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC； ②确定三角形的形状． 解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状． 则条件转化为4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B ＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC， 又sinB·sinC≠0， ∴sinB·sinC＝cosB·cosC， 即cos(B＋C)＝0. 又0°B＋C180°， ∴B＋C＝90°， ∴A＝90°，故△ABC为直角三角形． [点评]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状． 迁移变式3　在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． 解：由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc， 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA， 又∵sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC且 sinA＝2sinBcosC， ∴sinBcosC＝cosBsinC， 即sin(B－C)＝0，∴B＝C， 又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°. 故△ABC为等边三角形． [例4]　在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝ ，求b. [点评]　(1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c，再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结合求得结果． (2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注意以下关系式的运用： 迁移变式4　在△ABC中，已知ABC，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a、c的长． 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角． 请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具． (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． (4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是惟一的． 2．余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角． * * 答案：B [点评]　本题中比例系数k的引入是解题的关键． * * * *