分段低次插值与样条.ppt

4.5 样条函数插值 还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的整体光滑性, 还要求在某些结点处转折灵活. 例如若干点处加载集中力的杆、梁或板弯曲. 这就导致本节要讨论的样条函数(Spline)插值. 数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)来绘制或者放样成光顺曲线或者曲面.但它之所以成为数值分析的标志性成果之一并且在数学物理的广泛领域获得非常成功的应用,还在于它的明确的物理背景.请看下面的例子. 例. 考察梁弯曲方程 进行加载集中力,只是两端点除给零位移约束外还要加一阶或二阶导数约束.于是集中力作用 下的梁弯曲方程成为 此时我们得到: 图4.8.2 ① ② 在内结点 上 脉冲间断; ③ 为阶梯函数; ④ 在每个子区间 上 是三次多项式; ⑤ 和 都是 上的连续函数. 这便是后面我们要着重讨论的三次样条. 此例展示了三次样条的如下特征: ○ 它分段三次光滑; ○ 整体二次光滑(足够光滑); ○ 在内结点处三阶导数间断(转折灵活). Cubic Spline Interpolation Lagrang Interpolation 4.5.2 3次样条插值 问题的提法：给定数据表 构造3次样条函数 满足插值条件 构造方法： 应具有如下形式 并且满足条件(4.2)和 因 是分段3次多项式 ,故在每个区间 上 都是3次多项式 ,从而 共须 个独立条件确定 . ① 和 在 个内结点连续,即满足条件(4.4),因而 (4.4)给出了 个条件； ②(4.2)提供了 个独立条件; ③还差2个条件,有多种给法.最常见的给法是: (i) （简支边界，导致三弯矩关系式, 关系式）, 特别地, (自然边界,三次自然样条); (ii) (固支边界,导致三转角关系式, 关系式). * 4.4 分段低次插值 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) ? f (x) ? 分段低次插值 分段线性插值 在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): 记 ，易证：当 时， 一致 失去了原函数的光滑性。 y x o y= f(x) y=p(x) 分段Hermite插值 给定 在 上利用两点的 y 及 y’ 构造3次Hermite函数 导数一般不易得到。 4.5.1 样条函数插值 要求：插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。 这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而 在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足 这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线 称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为—— 样条插值。 注意：上述①给出的 个条件是问题本身隐含的， ②和③共 个独立条件须提供，故 结点三次样插值. 问题只有 个自由度.(请与分段三次Hermite插值比较!) 定义：设对y = f (x)在区间[a, b]上给定一组节点 a = x0 x1 x2 … xn = b和相应的函数值y0, y1,…, yn， 如果s(x)具有如下性质： （1）在每个子区间[xi-1, xi] (i = 1, 2,…, n