教案三线性空间和内积空间.PDF

教案三 线性空间和内积空间 基本内容提要 1 线性空间的概念 2 赋范线性空间的概念、向量范数、矩阵范数的概念，范数的等价性，适用范 数计算公式 3 内积空间的概念，由内积导出的范数概念及相关性质 4 向量间夹角的概念 教学目的和要求 1 掌握线性空间的概念、赋范线性空间、内积空间的概念 2 掌握根据向量间的夹角的定义计算向量间的夹角的基本方法 3 理解由内积空间导出的范数概念 4 正确掌握三种空间的异同 教学重点 1 线性空间、赋范线性空间、内积空间的相关概念及性质 2 向量范数、矩阵范数的概念 教学难点 范数的等价性，适用范数计算公式，向量间的夹角的计算方法，线性无关函数组 正交标准化方法 课程类型 新知识理论课 教学方法 结合提问，以讲授法为主 教学过程 问题引入 作为普通向量空间R n 概念的抽象和推广，线性空间和线性赋范空间是学习 数值分析时常用到的两个基本概念。这些概念在讨论函数的数值逼近理论，算法 的收敛性、稳定性及误差分析等问题时，具有重要作用。 §1.3 线性空间 1.3.1 线性空间的概念 定义 1.3.1 设V是一个非空集合，P是一个数域。如果V满足如下两个条件： 1、 在V中定义了封闭的加法运算“+”，即当x , y ∈V 时，有唯一的和x +y ∈V 。 1 这种加法运算还具有如下四条性质： x +y y =+x （1） （交换律） （2）x +(y +z ) (x =+y ) +z （结合律） （3）存在零元素0 ∈V (4) 存在负元素，即对V中任何元素x，都存在一个元素y ∈V ，使得x +y 0 我们称y为x 的负元素，并记为-x； 2、 在V中定义了封闭的乘法运算（属于集合中任意元素的乘法运算），即当 x ∈V,λ∈P 时，有唯一的元素λx ∈V 。这种数乘运算要求具有以下四条性质： （1） (λ+µ)x λx =+µx （分配律）； λ(x +y ) λx =+λy （数因子的分配律）； （2） （3）λ(µx ) (λµ)x （结合律） （4） 1x x 其中x , y ,z 表示V中的任意元素；λ,µ为数域P中的任意数。 这时，我们称集合 V 是数域 P 上的线性空间。P 为实数域 R 时，V 称为实线性空 间；P 为复数域 C 时，V 称为复线性空间。满足上述性质的加法和数乘运算，统 称为线性运算。 上述定义很抽象，利用 例 1.3.1 、例 1.3.2 、例 1.3.3 、例 1.3.4、例 1.3.5、 例 1.3.6 讲解线性空间的具体构造。 1.3.2 赋范线性空间的概念 定义 1.3.2 设V是数域P上的线性空间。对于V中的任意向量x ∈V ，规定一个 实数（记为 x ）与它对应，且这种规定还满足以下三个条件： 1、 非负性：当x ≠0 时， x 0 ；当且仅当x 0 时， x 0 ； 2、 齐次性： kx k x ，k ∈P ； 3、 三角不等式： x +y ≤ x + y ,∀x , y ∈V . 那么就称上述规定在线性空间 V 中引进了一种范数 （norm）。V 称为 P 上的赋 范线性空间。 讲解 例 1.3.7，引出无穷范数： x ； 1 范数： x ； 2 范数： x ；p范 ∞ 1 2 2