非负矩阵perron根的上下界钟琴1周鑫212四川大学锦江学院.docVIP

非负矩阵Perron根的上下界 钟 琴 周鑫 (1,2 四川大学锦江学院数学教学部, 四川 彭山 620860) 牟谷芳3 (3 乐山师范学院数学与信息科学学院 四川 乐山 614000) 摘要 非负矩阵Perron根的估计是非负矩阵理论研究中的重要课题. 借助两个新的矩阵, 将非负矩阵Perron根的上下界表示为收敛的序列. 数值算例表明估计的有效性和精确性. 关键词 非负矩阵; Perron根; 上界; 下界 中图法分类号 O151.21 Bounds for the Perron root of Nonnegative Matrices ZHONG Qin1, ZHOU Xin2 (1,2. Department of Mathematics, Sichuan University Jinjiang College, Pengshan 620860, China) MOU Gufang3 (3.College?of?Mathematics?and?Information?Science, Leshan Normal University, Leshan 614000, China) Abstract Estimation the bounds for the Perron root of nonnegative matrices is important part in the theory of nonnegative matrices. Based on two new matrices, new bounds for the Perron root of nonnegative matrices were obtained by constructing convergent sequences. Numerical example is given to illustrate the effectiveness and accuracy compared with the relevant conclusions. Key words nonnegative matrices; Perron root; upper bounds; lower bounds; 1 引 言 与 预 备 知 识 非负矩阵非负矩阵非负矩阵 若的所有元素, 则称矩阵为非负矩阵, 记为；若, 则称矩阵为正矩阵, 记为. 设为非负矩阵的个特征值, 记, 则为非负矩阵的一个特征值，称为非负矩阵的Perron根. 若是非负不可约矩阵, 则存在正向量,使得其中和分别称为的右Perron特征向量和左Perron特征向量. 设阶矩阵使得,其中和分别是阶方阵, 和, 则称是可约矩阵, 否则称是不可约矩阵. 设, , ,. 非负矩阵Perron根的最有名且用的最多的界值是由Frobenius[1]提出,则 (1) 对于列和也有相同的结论. 正矩阵是非负矩阵的子类,具有非负矩阵的所有性质. W.Lederman[2], A. Ostrowski[3]和A. Brauer[]在(1)式Perron根的界值定理. 对于具有非零行和的非负矩阵, H.Minc[5]对(1)式进行了改进,得到了如下的结果: . (2) 文献[6]在矩阵非负不可约的条件下得到了以下好结果: . (3) 这里为使得的任意正整数,对于列和(3)式结论同样成立. 文献[7]对(3)式进行了如下的改进: 设矩阵且具有非零行和非零列和,则对任意的正整数有 . (4) 对于列和结论同样成立. 本文将给出非负矩阵Perron根的一组新界作为对前人研究结果的补充,并且保证这组新界比相关文献中的结果更接近于Perron根的真实值. 2 主 要 结 论 引理1[5] 设是矩阵的特征值,,分别是矩阵和对应于的特征向量,则 ,. 引理2[5] 若是正实数,则对任意实数,有 . 引理3[7] 设是阶矩阵,分别表示矩阵的第行行和与第列列和,则 . 下面给出本文关于非负矩阵Perron根的估计结果. 定理1 设矩阵且不可约,令,其中若,,则对任意的正整数, , (5) . (6) 证明 因为且非负不可约,所以由引理3知.设是矩阵对应于的特征向量, 即,则有 , , , 由引理1可知 , . 于是 , 再由引理2得 故(5)式得证,