§2牛顿一莱布尼茨公式.ppt

* 数学分析—电子教案 新余高专精品课程 上一页 下一页 §2 牛顿一莱布尼茨公式 从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分 一般是很困难的．下面要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为 定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分 与不定积分联系了起来． 定理9．1 若函数 f在区间[a,b]上连续,且存在原函数F, 即 ，则f在区间[a,b]上可积 且 这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成 (1) 证 由定积分定义，任给 ，要证存在 ，当 时，有 事实上，对于 的任一分割 在每个小区间 上对F(x)使用拉格朗日中值定理， 则分别存在 ，使得 (2) 因为函数 f在区间[a,b]上连续，从而一致连续，所以对上述 ，存在 ，当 时，有 于是，当 时，任取 ，便有 这就证得 所以f在区间[a,b]上可积,且有公式(1)成立 注1 在应用牛顿一莱布尼茨公式时，F(x)可由积分法求得 注2 定理条件尚可适当减弱 例如： 1) 对F的要求可减弱为：在[a,b]区间上连续,在(a,b)区间内可导 且有 ．这不影响定理的证明． 2) 对f的要求可减弱为：在[a,b]区间上可积(不一定连续)． 这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]区间上可积, (2)式右边 当 时的极限就是 ，而左边恒为一常数． 例1 利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： 1) 2) 3) 4) 5) 1) 解: 2) 3） 4） 5 ) 先用不定积分法求出 的任一原函数， 然后完成定积分计算：