中值定理导数应用.ppt

泰勒(Taylor)中值定理 例4 求函数 的单调区间和极值. 解 函数的定义域为 令 ,得驻点 这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下 极大值 极小值 令 得 由于 定理4(极值的第二判别法) 设函数 在点 处具有 二阶导数，且 ， ； （1）若 ，则 是函数 的极小值点； （2）若 ，则 是函数 的极大值点； 例5 求函数 的极值. 解 函数的定义域为 所以 为极大值, 为极小值. 6.3.3 函数的最大值与最小值 是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间 上的最小值。 连续函数在区间 上的最大值与最小值可通过比较 端点处的函数值 和 ; 1.区间 2.区间 内使　　　　的点处的函数值； 内使 不存在的点处的函数值。　 3.区间 这些值中最大的就是函数在 上的最大值, 上的最大值与最小值是全局性的概念, 函数在区间 如下几类点的函数值得到： 上的最大值和最小值。 在驻点处函数值分别为 在端点的函数值为 最大值为 最小值为 解 令 ，得驻点 例6 求函数 在区间 比较上述5个点的函数值，即可得 在区间 上的 M1 x y o M2 M1 x y o M2 3.4.1 曲线的凹凸与拐点 定义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凸的。 如图所示 6.4 函数图形的描绘 如果曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线在这个区间上是凹的。如下图： 当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的增加而减少，即 是减函数。 M1 x M2 y o M1 x y o M2 定理1 设函数 在区间 内具有二阶导数 （1）如果 ∈ 时，恒有 ，则曲线 在 内为凸的； （2）如果 ∈ 时，恒有 ，则曲线 在 内为凹的。 定义2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。 拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域内 必然异号，因而在拐点处 或 不存在。 例1 求曲线 的凹凸区间与拐点。 解  令 ，得 ， 列表如下 有拐点 有拐点 可见,曲线在区间 内为凸的，在区间 内为凹的，曲线的拐点是 和 . 如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点. 综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下： （1）求一阶及二阶导数 ， ； （2）求出 及 不存在的点； 前页 结束 后页 * * 6.1 中值定理 6.2 洛必达法则 6.3 函数的单调性与极值 6.4 泰勒公式 结束 第6章 中值定理、导数应用 定理1 设函数 满足下列条件 (3) (1) 在闭区间 上连续； (2) 在开区间 内可导; 则在内至少存在一点 ， 6.1.1 罗尔定理 a b 使得 几何解释如图 在直角坐标系Oxy中 曲线 两端点的连线 平行于 轴,其斜率为零 故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行于弦 ，即平行于 轴。 即 则在区间 内至少存在 (1) 在闭区间 上连续； (2) 在开区间 内可导； 定理2