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2012-2013秋季学期数据与算法课程讲义
基础数值算法
吴 及
wuji_ee@tsinghua.edu.cn
清华大学电子工程系
2012年11月
内容提要
线性方程组的特性
线性方程组的直接解法
线性方程组的迭代求解
数据与算法 2 吴及
电子工程系
内容提要
线性方程组的特性
解的存在性和唯一性
矢量范数和矩阵范数
问题的敏感性和病态性
线性方程组的直接解法
线性方程组的迭代求解
数据与算法 3 吴及
电子工程系
研究范围
线性方程组的求解构成了解决计算问题数值方法的基础
线性方程组是一类重要的数学模型,如集总参数电路的模型
变量直接的非线性关系,常常在局部用线性关系作为近似,如微积分中的
导数,这个思想成为求解非线性问题的基础
微分方程,积分方程等非代数问题,也可以用线性代数方程来近似
给定 × 矩阵 ,和维矢量 ,求解线性方程组 =
是否可以表达为 中列矢量的线性组合?
我们首先讨论为方阵的情形
数据与算法 4 吴及
电子工程系
解的存在性和唯一性
线性方程组 = 解的特性取决于和
× 的矩阵是否奇异?
满足下面条件之一,非奇异,可逆
=
≠ 0
如果属于的的列矢量张成的空间,则称方程组是相容的
数据与算法 5 吴及
电子工程系
解的存在性和唯一性
线性方程组 = 解的特性如下表所示:
解
非奇异 任意 唯一
奇异 ∈ 无穷多个
奇异 () 无
数据与算法 6 吴及
电子工程系
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